习题2.1教学设计(第一课时)

《空间点直线平面之间的位置关系》同步练习1 一、选择题

1．下列说法中正确的是(

) A．镜面是一个平面

B．一个平面长10 m，宽5 m C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍

D．所有的平面都是无限延展的

[答案]

D [解析]

镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.

2．如图所示，下列符号表示错误的是(

) A．l∈α

C．l⊂α

[答案]

A [解析]

观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．

3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：

①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；

②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；

③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；

④∵A∉α，a⊂α，∴A∉a. 其中表述方式和推理都正确的命题的序号是(

) A．①④

B．②③

B．P∉l

D．P∈α

C．④

[答案]

C D．③

[解析]

①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊂α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．

4．空间中四点可确定的平面有(

) A．1个

C．4个

[答案]

D [解析]

当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．

5．下列命题中正确的是(

) A．圆心与圆周上两点可以确定一个平面

B．梯形一定是平面图形

C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合

D．两组对边都相等的四边形是平面图形

[答案]

B [解析]

当圆心与圆周上两点共线时，由于共线的三点可以确定无数个平面，所以选项A不正确；选项C中，当A，B，C，D共线时，平面α和平面β可能相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，所以选项D不正确；由于梯形的一组对边平行，则确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以选项B正确．

6．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，B．3个

D．1个或4个或无数个

给出下列四个命题，其中正确的命题是(

) ①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②

C．①④

B．②③

D．③④

[答案]

D [解析]

当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D. 7．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(

)

[答案]

A

8．下图中正确表示两个相交平面的是(

)

[答案]

D [解析]

A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．

二、填空题

9．经过一点可以作__________个平面；经过两点可作________个平面；经过不在同一直线上的三点可作________个平面．

[答案]

无数，无数，一

10．“若A、B在平面α内，C在直线AB上，则C在平面α内．”用符号语言叙述这一命题为____________________________．

[答案]

A∈α，B∈α，C∈AB⇒C∈α

11．若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A________l；其理由是________________．

[答案]

∈，同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上

12．已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．

[答案]

P∈l

[解析]

∵m∩n＝P，m⊂α，n⊂β，∴P∈α，P∈β，

又α∩β＝l，∴P∈l. 三、解答题

13．用符号语言表示下列语句，并画出图形．

(1)三个平面α，β，γ交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；

(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC. [解析]

(1)符号语言：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示如图1.

(2)符号语言：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ACD＝AC.图形表示如图2. 14．用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位置关系．

[解析]

图(1)平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β，b∩AB＝M；

图(2)平面α∩平面β＝PQ，直线a∩α＝A，a∩β＝B；

图(3)平面α∩平面β＝CD，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝A，A∈CD. 15．如图，已知α∩β＝l，梯形ABCD两底为AD，BC且满足AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l交于一点．

[证明]

∵AD，BC是梯形ABCD的两底边，

∴AB与CD必交于一点．

设AB∩CD＝M，

则M∈DC，且M∈AB. 又∵AB⊂α，CD⊂β，

∴M∈α，且M∈β. 即M是平面α与β的公共点．

又∵α∩β＝l，

由公理3得M∈l，即AB，CD，l交于一点．

16．已知直线l与四边形ABCD的三边AB，AD，CD所在直线分别相交于点E，F，G. 求证：四边形ABCD是平面四边形．

[证明]

设AB，AD确定的平面为α，则E∈α，F∈α. 于是EF⊂α. 又∵G∈EF，∴G∈α. ∴DG⊂α，即DC⊂α. ∴C∈α. 故A，B，C，D四点共面，即四边形ABCD为平面四边形．