1.2.1 中心投影与平行投影教学设计一等奖

[新知初探]

1．投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．

2．中心投影与平行投影

投影

中心投影

定义

光由一点向外散射形成的投影

在一束平行光线照射下形成的投影

特征

投影线交于一点

分类

平行投影

投影线互相平行

正投影和斜投影

[点睛]

平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．

3．三视图

三视图

正视图

概念

光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图

光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图

光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图

一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样

规律

侧视图

俯视图

[点睛]

三视图中的每种视图都是正投影．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的平行投影是直线(

) (2)圆柱的正视图与侧视图一定相同(

) (3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(

)

A．棱柱

C．圆柱

B．棱台

D．圆台

解析：选D

先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A、B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D. 3．沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是(

)

解析：选D

从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线．

中心投影与平行投影

[典例]

下列命题中正确的是(

) A．矩形的平行投影一定是矩形

B．平行投影与中心投影的投影线均互相平行

C．两条相交直线的投影可能平行

D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点

[解析]

平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确．无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确．

[答案]

D

画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．

[活学活用] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是(

)

A．①④

C．②④

B．②③

D．①②

解析：选A

从上下方向上看，△PAC的投影为图①所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为图④所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为图④所示的情况，故选A.

由几何体画三视图

[典例]

画出如图所示的正四棱锥的三视图．

[解]

正四棱锥的三视图如图所示．

三视图的画法规则

(1)排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．

(2)画法规则：

①正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；

②侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；

③俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”．

(3)线条的规则：

①能看见的轮廓线用实线表示；

②不能看见的轮廓线用虚线表示．

[活学活用] 1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，如图所示，则其三视图为(

)

解析：选A

其正视图为矩形，侧视图为三角形，俯视图中棱CC1可见，为实线，只有A符合．

2．画出如图所示的物体的三视图．

解：三视图如图所示．

由三视图还原几何体

[典例]

根据如图所示的三视图，画出几何体．

[解]

由正视图、侧视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里

有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．

由三视图还原几何体，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．只要熟悉简单几何体的三视图的形状，由简单几何体的三视图还原几何体并不困难．对于组合体，需要依据三视图将它分几部分考虑，确定它是由哪些简单几何体组成的，然后利用上面的步骤，分开还原，再合并即可．注意依据三视图中虚线、实线确定轮廓线．

[活学活用]

若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(

)

解析：选B

由题意知，A和C中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求；D中所给几何体的侧视图不符合要求；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.故选B. 与三视图有关的计算问题

[典例]

如图1所示，将一边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C-ABD，其正视图与俯视图如图2所示，则侧视图的面积为(

)

1A.

4B.212

C.

D.

422[解析]

由正视图可以看出，A点在面BCD上的投影为BD的中点，由俯视图可以看出C点在面ABD上的投影为BD的中点，所以其侧视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边为21221，于是侧视图的面积为××＝. 22224

[答案]

A

这类问题常常是给出几何体的三视图，由三视图中的数据，还原出几何体，并得出相关的数据，再求出相关的量，如体积、面积等．

[活学活用]

已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(

) ．．．A．1

C.2－1

2B.2 D.2＋1

2解析：选C

由正方体的俯视图是面积为1的正方形可知正方体的正视图的面积范围属于[1，2 ]，故选C.

层级一

学业水平达标

1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC(

) A．全等

C．不相似

B．相似

D．以上都不正确

解析：选B

根据中心投影的概念和性质可知，经过中心投影后所得的三角形与△ABC相似．

2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是(

)

解析：选D

由三视图知D正确．

3．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

解析：选B

由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．

4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是(

)

A．①②

B．②③

C．①④

D．③④

解析：选C

由正视图和侧视图，可知俯视图的长与宽的比例为3∶2，故选C. 5．一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是(

)

解析：选A

由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面．正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B错；侧视图中的线应是虚线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错．

6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．

①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．

解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．

答案：①②③⑤

7.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．

解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的

高，故底面边长为4. 答案：2

4 8.如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是________．(填序号) ①四边形BFD′E在面ABCD内的正投影是正方形；

②四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是菱形；

③四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．

解析：①四边形BFD′E的四个顶点在面ABCD内的投影分别是点B，C，D，A，所以正投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，连接AG，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝5，所以四边形AGD′E不是菱形，即②不正确．对于③，由②可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形，从而③正确．

答案：①③

9．画出如图所示的三棱柱的三视图．

解：三棱柱的三视图如图所示：

10．如图(1)所示是实物图，图(2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正确请改正．

解：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：

层级二

应试能力达标

1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(

) A．球的三视图总是三个全等的圆

B．正方体的三视图总是三个全等的正方形

C．正四面体的三视图都是正三角形

D．圆台的俯视图是一个圆

解析：选A

正视方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，B错误；C，D显然错误，故选A. 2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(

)

解析：选C

由几何体的俯视图与侧视图的宽度一样，可知C不可能是该锥体的俯视图，故选C. 3.某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三

棱锥最长的棱长等于(

) A．42

C.41 B.34 D．52 解析：选C

根据几何体的三视图，得该几何体是底面为直角三角形，有两个侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，最长的棱长等于25＋16＝41，故选C. 4.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(

) A．10

B．12

C．14

D．16 解析：选B

由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有22＋4×2个面是梯形，这些梯形的面积之和为×2＝12，故选B. 25.如图，在多面体ABC-A′B′C′中，底面ABC为正三角形，三条侧3棱AA′，BB′，CC′分别平行，侧棱垂直于底面ABC，且3AA′＝BB′2＝CC′＝AB，则下面图形可视为多面体ABC-A′B′C′的正视图的是________．

解析：根据正视图的画法，因为底面ABC为正三角形且AA′

6.已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2 cm的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为______cm2. 解析：构造一个棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1，在此正方体中作出一个符合题意的正四面体A-B1CD1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为22 cm，高为2 cm的等腰三角形，从而可得正视图的面积为22 cm2. 答案：22 7．已知图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．

解：图①几何体的三视图为：

图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体．

8．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，根据三视图回答下列问题：

(1)该物体有多少层？

(2)该物体的最高部分位于哪里？

(3)该物体一共由几个小正方体构成？

解：(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．

(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．

(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排．

第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成．