1.1.3 四种命题间的相互关系教学目标设计

命题及其关系

授课：刘维

一．

教学内容

本节课为北师大版选修2-1第一张《常用逻辑用语》的第一节《命题》

二．

教材的地位与作用

数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处都涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证。本节课研究的内容既是对学生初中学习过的命题知识的延续和提高，又是后面研究充分条件和必要条件、全称量词和存在量词等知识的基础。同时也是培养学生用逻辑用语来阐明数学知识的需要，是人们在日常生活中进行思考、交流的需要。

三．

教学目标

1.

了解命题的概念及构成，能判断命题的真假；

2.

掌握命题的四种形式及相互转化；

3.

理解四种命题间的真假关系。

四．

教学重难点

1.

分清命题的构成和判断命题的真假；

2.

掌握四种命题之间的构成关系；

3.

领悟并会运用互为逆否命题同真同假的重要规律。

五．

教学过程

1.

创设情境，导入新课

地主宴客

2.

问题导向，概念建构

2.1命题的概念

思考1：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？

（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点 （2）2+4=7．

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（４）若x=1,则x=1．

（５）两个全等三角形的面积相等．

（６）３能被２整除．

学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都能判断真假。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

给出定义：一般的，把能判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫真命题；判断为假的语句叫假命题。上面6个语句中，（1）（3）（5）为真命题，（2）（4）（6）为假命题。

例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集．

（2）指数函数是增函数吗？

（3）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．

2

（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行．

（5）(2)2＝２．

（6）x＞１５．

引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？

通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．

过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？

2.2命题的构成――条件和结论

定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”，在本章中，我们只讨论这种形式的命题。通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．

例2：指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．

（１）若a>1，则f(x)=logax是增函数． （２）若四边形是平行四边形，则它的对角线互相5垂直. 2.3四种命题的概念

思考2：观察下列四个命题中，指出命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件与结论有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

命题（1）与（2）对比发现，交换了命题的条件和结论。

互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。

原命题：其中一个命题叫做原命题。

逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题。

即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p 例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。

命题（1）与（3）对比发现，同时否定原命题的条件和结论

互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这两个命题叫做互否命题。

原命题：其中一个命题叫做原命题。

否命题：另一个命题叫做原命题的否命题。

原命题:若p,则q 否命题：若￢P，则￢q．

例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。

命题（1）与（4）对比发现，交换原命题的条件和结论，并且同时否定

互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这两个命题叫做互为逆否命题。

原命题：其中一个命题叫做原命题。

逆否命题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。

3.师生互动，探索规律

3.1四种命题形式: 原命题：若P，则q． 逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q． 逆否命题：若￢q，则￢P．

3.2 探究四种命题真假的规律

1.先判断下列两组命题的真假性

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数 （真）

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数． （假）

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数． （假）

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数． （真）

例3原命题：若同位角相等，则两直线平行. （真）

逆命题：若两直线平行，则同位角相等. （真）

否命题：若同位角不相等，则两直线不平行. （真）

逆否命题：若两直线不平行，则同位角不相等. （真）

2.再看下面的例子：

（请学生写出或者口答例1的逆命题、否命题和逆否命题，再判断命题的真假）

例4原命题：若x3x20,则x2 （假）

逆命题：若x2,则x3x20 （真）

否命题：若x3x20,则x2 （真）

逆否命题：若x3x20,则x2 （假）

例5 原命题：若一个方程是二次方程,则这个方程有实数解

（假）

逆命题：若一个方程有实数解,则这个方程是二次方程

（假）

否命题：若一个方程不是二次方程,则这个方程没有实数解

（假）

逆否命题：若一个方程没有实数解,则这个方程不是二次方程

（假）

由以上4个例子我们得出了四种命题的真假性，有如下情况：

原 命 题

逆 命 题

否 命 题

逆 否 命 题

真

真

假

真

假

真

真

真

2222

假

假

真

假

真

假

假

假

观察此表格，你能找出原命题与逆否命题，逆命题与否命题真假性之间的联系么？原命题与逆命题呢？原命题与否命题呢？逆命题与否命题呢？原命题与逆否命题呢？（请学生回答）

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

例5：判断命题“若ab0，则a0”的真假。

4.数学应用，巩固基础

1.设ab,a,b,cR则下列命题为真命题的是（ ）

a1 C.

acbc D.

a2b2

b2．一个命题的四种形式的命题中真命题的个数可能取值是

（ ）

A．0或2 B.0或4 C.2或4 D.0或2或4 A．ac2bc2 B.3．已知a,bR,命题“若ab2,则ab4”的否命题是（

）

A．若ab2,则ab4

B. 若ab2,则ab4

C．若ab2,则ab4

D．若ab2,则ab4

4. 命题“若ab，则a1b”的逆否命题是（ ）

A．若a1b，则ab

B．若a1b，则ab

C．若a1b，则ab

D．若a1b，则ab

5. 若命题“关于x的方程xax40有解”为真命题，求a的取值范围。

变式1：若命题“关于x的不等式xax40有解”为真命题，求a的取值范围。

变式2：若命题“关于x的不等式xax40恒成立”为真命题，求a的取值范围。

六．

课堂总结

1.

什么叫命题？真命题?假命题? 2.

命题由哪两部分构成？

3.

四种命题的形式有何特点?真假关系如何？

布置作业

2222222222222七．