习题4.1教学实录

高三数学一轮复习《圆的方程（第一课时）》教学设计

一、教学内容解析：

本节课选自《优化方案2018年高考总复习》的第八章第三讲，主要复习圆的方程及其常见考点和题型。

本节课先从“知识梳理”谈起，复习圆的定义及方程、点与圆的位置关系，然后开展“双基自测”，检查学生对基础知识的掌握情况，接着进行“典例剖析”，对高考中常考的题型详细讲解，最后组织“通关练习”。

二、教学目标设置：

1、高考要求：

求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小。主要有以下两个命题角度：（1）由已知条件求圆的方程；（2）由圆的方程确定参数的值(范围)。求与圆有关的最值和轨迹问题，有时以解答题的形式出现，中等难度。

2、考点在线： 求圆的方程、与圆有关的最值问题和与圆有关的轨迹问题。

3、课程标准：

（1）在平面直角坐标系中，理解和掌握圆的标准方程与一般方程；

（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

（4）体会用代数方法处理几何问题的思想。

重点：掌握圆的标准方程和一般方程；

难点：求解与圆有关的最值和轨迹问题。

三、学生学情分析：

本节课的主要内容，学生已经在高一下学期必修2中学习过了，但间隔时间较长，恐怕在学生的脑海中只剩下肤浅的印象。

在本节课之前学生已经复习了直线的方程和两条直线的位置关系，为圆的方程的复习奠定了基础。

授课班级为s1501班（汉回重点班），该班学生整体基础知识和基本技能比较扎实，能够较好地掌握教材上的内容，但部分学生思维不够活跃，处理、分析问题的能力有待进一步提高。

四、教学过程

（一）知识梳理

1．圆的定义及方程

定义

标准

方程

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

(x－a)2＋(y－b)2

＝r2(r>0)

圆心(a，b) 半径为r

条件：D2＋E2－4F>0

一般

方程

x2＋y2＋Dx＋

Ey＋F＝0

DE－，－

圆心：221半径r＝D2＋E2－4F

2

2.点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. （2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. （3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. （二）复习指导

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；

(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

两个防范

(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．

(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．

（三）双基自测

1．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(

) A．x2＋y2＝2

B．x2＋y2＝2

C．x2＋y2＝1

A

[解析] AB的中点坐标为(0，0)，

|AB|＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，所以圆的方程为x2＋y2＝2.

2．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(

) 111A.

B．m<或m>1

C．m<

4441

B

[解析] 由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1. 43．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为(

) A．(x－2)2＋y2＝5

B．x2＋(y－2)2＝5

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5

D．x2＋(y＋2)2＝5

D

[解析] 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5. 4．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．

[解析] 因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1

[答案] (－1，1) 5.教材习题改编

圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．

[解析] 设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|＝|CB|，

即（a＋1）2＋1＝（a－1）2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，

D．m>1

D．x2＋y2＝4

半径|CA|＝（2＋1）2＋1＝10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

[答案] (x－2)2＋y2＝10 （四）典例剖析

考点1：求圆的方程(高频考点)

(1)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直45线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．

5(2)(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

【解析】

(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a45＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

55(2)由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋12558y＋10＝0，即x＋y＋x＋2y＋＝0，配方得x＋2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；当a＝－1时，方程为2422x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.

规律方法

求圆的方程的两种方法

(1)直接法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

（五）提点通关

角度一

由已知条件求圆的方程

21．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为(

) xA．(x－1)2＋(y－2)2＝5

B．(x－2)2＋(y－1)2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝25

D．(x－2)2＋(y－1)2＝25 22a，，a>0.又因为圆与直线2x＋y＋1＝0相

A

[解析] 由圆心在曲线y＝(x>0)上，设圆心坐标为ax

22a＋＋1a4＋12切，所以圆心到直线的距离d＝≥＝5，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号．所以圆心坐标a55为(1，2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 2．(2017·百校联盟联考)经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．

[解析] 法一：因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上．

1易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．设所求圆的圆心为C(a，b)，则有

22a－b－3＝0a＝2解得所以C(2，1)，所以半径r＝|CA|＝（5－2）2＋（2－1）2＝10，

1b＝1，b＝－2（a－4），所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

2a－b－3＝0a＝2222则（5－a）＋（2－b）＝r解得b＝1所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

（3－a）2＋（－2－b）2＝r2，r＝10，法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，

25＋4＋5D＋2E＋F＝09＋4＋3D－2E＋F＝0则

解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.所以圆的方程为x＋y－4x－2y－5＝0.

－D＋E－3＝0，2×2222

角度二

由圆的方程确定参数的值(范围) 3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0

) A．原点在圆上

B．原点在圆外

C．原点在圆内

D．不确定

B

[解析] 将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，

因为00，即（0＋a）2＋（0＋1）2>2a，所以原点在圆外．

（六）课堂小结

（七）作业：大册子考点2、3，课时作业。

五、板书设计

知识梳理

双基自测

典例剖析

题点通关

课堂小结