3.2.2 直线的两点式方程课件配套优秀教案设计

3.2.2

直线的两点式方程

[学习目标]

1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围. 2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围. 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标. 问题创设

知识点一

直线的两点式方程

问题1.直线的两点式方程的定义

y－y1x－x1＝就是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程，我们把y2－y1x2－x1它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 问题2.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则有中点坐标公式：

x，x＝x＋2y＋yy＝2.1212

思考

若直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，满足x1＝x2或y1＝y2时，直线l的方程是什么？

答

当x1＝x2时，直线l平行于y轴，此时的直线方程为x－x1＝0或x＝x1；当y1＝y2时，直线l平行于x轴，此时的直线方程为y－y1＝0或y＝y1. 知识点二

直线的截距式方程

xy1.直线l与x轴交点A(a,0)，与y轴交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则得直线方程＋＝1，ab叫做直线的截距式方程. 2.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则xx＝x＋2y＋yy＝21122

. 思考

截距式方程能否表示过原点的直线？

答

不能.因为ab≠0，即有两个非零截距. 自主学习

题型一

直线的两点式方程

例1

已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，

(1)求BC边的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程. 解

(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

y－－4x－5∴由两点式得＝，

－2－－40－5即2x＋5y＋10＝0. 故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5). (2)设BC的中点为M(x0，y0)，

5＋05－4＋－2则x0＝＝，y0＝＝－3. 2225，－3，

∴M2又BC边上的中线经过点A(－3,2). y－2x－－3∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0. －3－25－－32故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 反思与感悟

(1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，例1中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线. 跟踪训练1

(1)已知直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，求直线l的方程；

(2)已知点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，求m的值；

(3)三角形的三个顶点分别是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在的直线的方程. 解

(1)因为点A与点B的横坐标相等，

所以直线l没有两点式方程. 故所求直线方程为x＝2. (2)由两点式方程，得过A，B两点的直线方程为

y－－1x－2＝，即x＋y－1＝0. 4－－1－3－2又因为点P(3，m)在直线AB上，

所以3＋m－1＝0，得m＝－2. (3)由两点式，得边AB所在直线的方程为

y－－1x－3＝，即x＋4y＋1＝0. 0－－1－1－3

同理，边BC所在直线的方程为

y－3x－1＝，即2x＋y－5＝0. －1－33－1边AC所在直线的方程为

y－3x－1＝，即3x－2y＋3＝0. 0－3－1－1题型二

直线的截距式方程

例2

求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程. 解

设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b. xy①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. ab4－3∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，

ab若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，

∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 反思与感悟

1.当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解. 2.选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点. 跟踪训练2

(1)求在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程；

(2)求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解

(1)根据直线方程的截距式，得

xy直线方程为＋＝1，

－34化简得4x－3y＋12＝0. xy(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. a－a34又因为l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. a－axy所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. －114当直线l在坐标轴上截距互为相反数且为0时，直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 3综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 合作探究

数学思想

分类讨论思想

例3

求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程. 分析

直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点(4,2)求得直线方程. 解

当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意. 11此时，直线的斜率为，所以直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0. 22xy当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1. ab42又因为过点A，所以＋＝1.

①

ab因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，

所以|a|＝|b|.

②

由①②联立方程组，

a＝6，a＝2，解得或

b＝6b＝－2.

xyxy所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

662－2化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2，

即直线l的方程为x＋y－6＝0或x－y－2＝0，

综上，直线l的方程为x－2y＝0 x＋y－6＝0，

x－y－2＝0. 解后反思

截距式方程不能表示过原点的直线，因而在未明确截距与0的关系时，要分截距为0和不为0两大类来讨论.另外截距有正有负，求解问题时要注意. 当堂检测

1.已知2x1－3y1＝4,2x2－3y2＝4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是(

) A.2x－3y＝4

C.3x－2y＝4

答案

A 解析

∵(x1，y1)满足方程2x1－3y1＝4，则(x1，y1)在直线2x－3y＝4上.同理(x2，y2)也在直线2x－3y＝4上.由两点确定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x－3yB.2x－3y＝0 D.3x－2y＝0

＝4. 2.过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为(

) A.4x－5y＋13＝0

C.5x＋4y＋5＝0

答案

B y－1x－－2y－1x＋2解析

∵直线过点(－2,1)和(3，－3)，∴＝，∴＝，化简得4x＋5y5－3－13－－2－4＋3＝0. 3.过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(

) A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

答案

B xy解析

当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为＋＝1，aa把点P(4，－3)代入方程得a＝1.因而所求直线有2条. 4.过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是(

) A.2x＋y－12＝0 B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C.x－2y－1＝0 D.x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 答案

D 2解析

当y轴上截距b＝0时，设直线方程为y＝kx.将点(5,2)代入，得y＝x，即2x－5y＝0.5xy529当b≠0时，设直线方程为＋＝1，将点(5,2)代入，得＋＝1，解得b＝，即直线方程2bb2bb2xy为＋＝1.整理，得x＋2y－9＝0.故选D. 9925.下列四个结论：

y－2①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；

x＋1②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；

③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；

④所有的直线都有点斜式和截距式方程. 正确的为________.(填序号) 答案

②③

解析

①中两个方程的定义域不同；④中倾斜角为90°的直线没有点斜式方程，也没有截距式方程，倾斜角为0°的直线没有截距式方程. B.4x＋5y＋3＝0 D.5x－4y＋8＝0

课堂小结：

1.求直线的两点式方程的策略以及注意点

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程. (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系. 2.截距式方程应用的注意事项

(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式直线方程的逆向应用. 3.对称问题的解决

(1)点关于点对称，可用线段的中点坐标公式. (2)线关于点对称，可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称，结合代入法解决. (3)点关于线对称，运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条件，通过解方程组求解. (4)线关于线对称，转化为点关于线对称，结合代入法解决.