小结优秀教案案例

《导数复习课》教学设计

临桂中学数学组

张爱友

【设计理念】

在复习过程中，常常发现学生对于导数能够运用，而在具体运用过程中，如何运用导数去解决问题的手段或解决问题的途径不够宽，或者解法不是很灵活。因此，想通过本堂课针对高考中可能出现的考查内容进一步巩固，让学生进一步地掌握导数知识的运用。

【教学目标】

1、了解导数的某些实际背景（如瞬时速度、曲线切线的斜率等），理解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义。

2、熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、运用导数求可导函数的单调性、极值、最值及相关问题。

【教学重点】

运用导数方法判断函数的单调性，求函数的极值和最值，运用导数的几何意义解决曲线的切线方程问题。

【教学难点】

灵活运用导数知识解决函数的综合性问题。

【教学方法】

分层学导式教学法。

【教学过程】

一、知识回顾：（重在对知识的进一步理解和掌握，构建知识网络，回归课本）。

1、导数的定义，求导数的方法。

2、导数的几何意义：过曲线上某点处的切线的斜率，即在点P（x0，y0）处的切线的斜率为：k=y′|X=X0或k=f'(x0)

3、导数的基本公式，两个函数的和、差、积、商的求导运算法则及复合函数的求导法则。

4、函数的单调区间：由f'(x)= 0有两根x1、x2，且x10时，则在区间（-∞，x1）和（x2，+∞）上为单调递增函数，求f'(x)<0时，则在区间（x1，x2）上为单调递减函数。如图

注：借助导函数与原函数二者图象的对比性质，进一步掌握通过研究导函数的图象来研究原函数的性质。

5、极值：由第4条知，当x = x1时有极大值f(x1)，当x = x2时有极小值f(x2)

6、最值：求在某闭区间上的最值，先求在该区间上的极值（若有），再求函数在此区间上两端点处对应的函数值和极值进行比较，其中大者为最大值，小者为最小值。

二、解剖高考：（重在让学生运用基础知识解决比较简单的问题。可由学生先思考回答解题思路或展示解题过程，然后师生共同分析点评。）

考点1、考查导函数与原函数的图象间关系

例1、已知函数yxf(x)的图象如右图所示

（其中f(x)是函数f(x)的导数），下列四

个图象中y =f(x)的图象大致是（

）

y y

-1

解析：由y = xf(x)图象可知，y =f(x)在[-1，1]上小于等于0，故原函数在[-1，1]上为减函数，故选（C）。

小结：函数图象提供了很多信息，主要抓住关键特点，如导数为零的点，导数为正值或负值的区间等。

1

y

y=f'(x)

y = f(x)

x1

0 x2

y x1

0 x2

x x y 1 -1 0 -1 y 1 x y 1 -1 0 1

2

x -1 （D）

1 0 1 2

x

-1 （A）

1 0 1 2

x

-2 -1 -1 2 1 -1 0

1

2

x -1 （C）

（B）

考点2、考查导数的几何意义

例2、过曲线y = x3+ x +1在点（1，3）处的切线方程是

解析：设切线的斜率为k，因为y′=3x2+1故k=y′|x=1 = 3+1 = 4，所以所求的切线的点斜式方程为：y-3 = 4（x-1），化简得4x-y-1 = 0. 小结：导数f(x0)的几何意义是曲线y =f(x)在某点x = x0处切线的斜率，所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程可得到。

考点3、考查导数的定义的应用

例3、设f(x)为可导函数，若f′(1) = -2，则

limx0f(1)f(1x)

. 2x解析：lim

x0f(1)f(1x)1f(1x)f(1)11limf(1)(2)1. 2x0x222xy= x小结：本题主要考查导数概念性质的直接应用，重在理解f′(x0)=limx0limx0f(x0x)f(x0)的内含。

x考点4、考查利用导数判断函数的单调性

例4、已知向量a=（x2，x+1），b(1x,t)，若函数f(x)= ab在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。

解析：依定义有f(x)= x2(1-x) + t(x+1) = -x3+ x2+ tx + t，故f'(x)= -3x2+2x+t，若f(x)在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可有f'(x)≥0，∵f'(x)的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f′（1）= t-1≥0且f′（-1）=

t-5 ≥0时，f'(x)在（-1，1）上满足f'(x)>0，即f(x)在（-1，1）上是增函数，故t的取值范围是t≥5。

小结：本题考查可导函数的单调性与其导数的关系和数形结合思想的应用，判断方法是若f'(x)>0，则f(x)为增函数，若f'(x)<0，则f(x)为减函数。

考点5、考查函数的极值问题

例5、已知a∈R，讨论函数f(x)= ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。

解析：f'(x)= ex(x2+ax+a+1)+ ex(2x+a) = ex[x2+(a+2)x+(2a+1)] 令f'(x)= 0得x2+（a+2）x+（2a+1）= 0

2

（1）当△=（a+2）2－4（2a+1）=a2－4a = a（a-4）＞0，即a＜0或a＞4时，方程x2+（a+2）x+（2a+1）= 0有两个不同实根x1、x2，不妨设x1＜x2，于是f'(x)=ex（x－x1）（x－x2），易知f'(x)分别在x1和x2两侧的符号都相反，即此时f(x)有两个极值点。

（2）当△=0，即a=0或a=4时，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0有两个相等的实根x1=x2，于是f'(x)= ex（x－x1）2，故在x1的两侧均有f'(x)＞0，因此f(x)无极值。

2（3）当△＜0，即0＜a＜4时，方程x+（a+2）x+（2a+1）=0无实数根，即 f'(x)=ex[x2+（a+2）x+（2a+1）]＞0，故f(x)为增函数，此时f(x)无极值。

综上所述，当a＜0或a＞4时，f(x)有两个极值点，当0≤a≤4时，f(x)无极值点。

小结：可导函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号。

考点6、考查利用导数求函数的最值问题

例6、函数f(x)= x4－8x2+2在[-1，3]上最大值为（ ）

（A）11 （B）2 （C）12 （D）10 解析：f'(x)= 4x3 －16x = 4x（x+2）（x－2）

由f'(x)=0得，x1=0，x2=－2（舍去），x3 = 2 则f（0）=2，f（2）=－14，f（－1）=－5，f（3）=11 所以f(x)max = 11 小结：求闭区间上的最值问题只要比较该区间内的极值与区间两端点的函数值即可，其中大者为最大值，小者为最小值。

三、知识检测：（重在对导数几何意义、函数的单调性、极值、最值几个方面巩固基础知识。先由学生口述解题思路，教师再点评分析）

1、已知曲线y =x2+2上点A处的切线斜率为4，求该切线方程。答案：4x－y－2=0。

2、函数f(x)= x3－3x2+1是减函数的区间是（D）

（A）（2，+∞） （B）（－∞，2） （C）（－∞，0） （D）（0，2）

3、函数f(x)= ax3+x+1有极值的充要条件是a＜0 4、已知函数f(x)= －x3+3x2+9x+a（a为常数）在区间[－2,2]上有最大值为20，

3

那么在[－2，2]上f(x)的最小值为－7 5、已知b＞－1,c＞0，函数f(x)=x+b的图象与函数g（x）= x2+bx+c的图象相切。

（I）求b与c的关系式（用c表示b）

（II）设函数F（x）=f(x)g（x）在（－∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围。

分析：本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力。

解析：（I）依题意知，直线f(x)=x+b的斜率为1，令g（x0）=1 即2x0+b=1,故x0=1b1b. ∴f(x0)=

22由g（1b1b）=得（b+1）2=4c 22∵b＞－1，c＞0 ∴b=－1+2c

（II）F（x）=f(x)g（x）= x3+ 2bx2 +（b2+c）x + bc F'(x)= 3x+4bx+b+c 22由F'(x)的图象是开口向上的抛物线，易判断方程F'(x)=0的判别式△＞0时，

F(x)才有极值。

即△=16b2－12（b2+c）=4（b2－3c）＞0 解得：b＜－3c或b＞3c

∵b=－1+2c ∴－1+2c＜－3c或－1+2c＞3c

解之得：0＜c＜7－43或c＞7+43

故所求c的取值范围是（0，7－43）∪（7+43，+∞）

注：本题由学生课外完成，并思考运用导数解决函数综合性问题时要注意什么问题，有哪些常用方法，以及在高考中的地位。

【教学反思】

在教学过程中，抓住导数与原函数的图象关系，帮助学生理解导数的概念及其应用。加强学生对函数，特别是高次函数的单调性、极值、最值问题的解决。同时，加强对知识的小结和提练，便于学生对重点知识进行重点掌握。因此，抓住导数的这一主线，展开分析，取得预期效果。

在备课过程中，强调抓住教材而不脱离教材，以教材为蓝本，抓住重点，突破难

4

点，围绕高考可能出现的有关问题，一一理顺，构建导数的知识网络，实现导数知识的巩固运用。

本堂课的教学是根据学生实际状况，采用分层学导式教学法，讲练结合，充分发挥学生的自主学习和合作学习相结合的能力。

【板书设计】

导数及其应用

一、知识回顾

1、导数定义，求导数的方法

2、导数的几何意义

3、导数的基本公式，运算法则4、函数的单调性

5、极值

6、最值

二、解剖高考考点1：例1 考点2：例2 考点3：例3 考点4：例4 考点5：例5 考点6：例6 5 三、知识检测

1、2、3、4、5