探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积多媒体教学设计及其点评

教学设计

《探究与发现

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》

一、教学目标：

1、能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。

2、能够利用祖暅原理求球体的体积。

二、教学重难点：

1、利用祖暅原理获得柱体、锥体、球体的体积公式

2、让学生体会联想，类比，猜想证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用

三、教学过程

祖暅，字景烁，范阳郡蓟县人，也就是如今我们河北省涞源县人。南北朝时期的伟大数学家、天文学家，说到这里，大家可能会想起一个人，祖冲之，也是这个时期的，都姓祖，那他们俩是不是有关系？有，还真有，并且很近。这个祖暅就是祖冲之的儿子。（设计情境，师生互动）今天我们单谈一谈他在5世纪末提出的“祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异。”“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。更第

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详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理。

一个浅显易懂的原理，直到17世纪意大利数学家卡瓦列利才提出来，而我们的祖暅要比他早上一千多年。

通俗地讲，就是取一摞书放在桌子上组成一个几何体，无论怎么改变形状，无论得到多少个多面体，因为它们的高度没有发生改变，每页纸的面积也没有发生改变，所以它占据的空间的大小是不变的，也就是说它的体积没有发生改变。

当然，我们也可以从微观角度来解释，我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于第

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两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。

我们利用“祖暅原理”以及长方体公式，我们很容易推出柱体、锥体、球体的公式。实际上“祖暅原理”就是祖暅同他的父亲祖冲之一起解决球面积、体积问题时衍生出来的。

1、柱体的体积

设有底面面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内，由柱体的定义，平行于底面的任意平面截柱体得到与底面全等的图形，所以面积相等。根据“祖暅原理”，可知它们的体积相等，由长方体的体积公式，可以得到：

2、锥体的体积

我们先来研究棱锥。

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设有底面面积都等于S，高都等于h的任意两个棱锥，使它们的下底面在同一个平面内，由棱锥的定义，平行于底面的任意平面截锥体得到与底面相似的图形。

进而得到平行于底面的任意平面截锥体得到的截面面积相等，根据“祖暅原理”，可知它们的体积相等，即底面积相等，高相等的锥体体积相等。

由三棱锥体积公式可以得到

3、球体的体积 为了解决球体的体积，我们先来研究半球的体积，如果要想利用祖暅原理，我们需要构造一个可以求出体积的，并且它第

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和半球的高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体。这种构造堪称中学教材上构造性的典范。

由此可以知道，利用祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体，实际上我们也可以由“祖暅原理”推导出椭球体，旋转抛物体以及旋转单第

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叶双曲面所围成的几何体的体积。有兴趣的同学可以尝试解决一下。

四、课堂小结：

1.

知识方面：

本节探究了利用祖暅原理获得了柱体、锥体、球体的体积公式。

2.

思维能力方面：

体会到联想，类比，猜想证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用

五、课后作业：

课本36-37页1.2.3.4

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