习题2.2教学目标

利川市第五中学高一年级数学学科集体备课教案

第 1 次教案

课 题

主备课人

授课时间

课 型

教

学

目

标

学情分析

教学重点

教学难点

2.3.2 平面与平面垂直的判定

陈 祥 政

______班第_____周星期_______第_______节课

______班第_____周星期_______第_______节课

新授课

教学方法

知

识

与

技

能

过

程

与

方

法

“212”高效课堂模式

教 具

常规+多媒体

掌握两个面垂直的判定定理及简单应用

“212”高效课堂模式

通过小组讨论，激发学生的学习欲望和探索精神，在课堂授课人

课时数

1个

陈

祥

政

情感、态度与价值观

学习中，学生及独立思考，又有合作讨论，有意识有目的的培养学生自主学习的良好习惯以及协作共进的团队精神

在上一次课学习的基础上，学生在理解和思维上学习本节内容难度不大

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定的应用

教学过程设计（含学法指导内容）

教 学 内 容

教师

学生

二次

活动

活动

备课

一、自主预学案：不看不讲

建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直．

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问题1:

由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？

[提示1] 垂直．

[问题2]

若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一方法？

[提示2] 可以，只需在一平面内找一线垂直于另一平面即可

知识点：平面与平面垂直

定义

平面与平面垂直

如果两个平面相交，且它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直，记作：________

通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：画法

判定文字表述：一个平面过另一个平面的______，则这两个平面垂定理

直．符号表示：

思维启迪：

a⊥β⇒α⊥β

_______常用的两个平面互相垂直的判定方法

(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；

(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．

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二、合作探究案：不议不讲

例题讲解：平面与平面垂直的判定

例1、

在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，

且E，F分别是AB，BD的中点．

求证：(1)直线EF∥平面ACD；

(2)平面EFC⊥平面BCD. 证明：(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，

所以EF是△ABD的中位线，

所以EF∥AD. 因为EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，

所以直线EF∥平面ACD. (2)因为AD⊥BD，EF∥AD

所以EF⊥BD

因为CB＝CD，F是BD的中点

所以CF⊥BD. 又EF∩CF＝F，

所以BD⊥平面EFC. 因为BD⊂平面BCD，

所以平面EFC⊥平面BCD. 例2、如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC. [思路提示]

1．两个平面垂直的定义是什么？由面面垂直是否可以证明线线垂直？

2．应用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直的关键是什么？

3．要证面面垂直关系首先要分析出什么位置关系？

[边听边记] 证法一：利用定义证明

∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，

∴△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．

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取BC的中点D，连接AD，SD，

则AD⊥BC，SD⊥BC，

∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．

在Rt△BSC中，

∵SB＝SC＝a，∴SD＝在Rt△ABD中，AD＝2BC2a，BD＝＝a. 2222a. 2在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，

∴∠ADS＝90°，

即二面角A－BC－S为直二面角，

故平面ABC⊥平面SBC. 证法二：利用判定定理

∵SA＝AB＝AC，

∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．

∵△BSC为直角三角形，

∴A在△BSC上的射影D为斜边BC的中点．

∴AD⊥平面SBC. 又∵平面ABC过AD，

∴平面ABC⊥平面SBC. 规律方法：

1.对平面与平面垂直的判定定理的认识：

平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”故处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题

2．证明平面与平面垂直的方法：

根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直。

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自主探究：（备用例题或课后讨论）

如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC. 求证：平面PAC⊥平面ABC；

证明：∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，

1∴PD＝AB＝10 2∴AP⊥PB. 又AP⊥PC，PB∩PC＝P，

∴AP⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC

∴AP⊥BC. 又AC⊥BC，AP∩AC＝A

∴BC⊥平面PAC

又BC⊂平面ABC

∴平面PAC⊥平面ABC. 三、训练案：不做不讲

1、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.

(1)指出图中哪个角是二面角B－AD－C的平面角，并说明理由；

(2)证明：平面ADB⊥平面BDC. 解析：

(1)∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．

(2)证明：由(1)知，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ADB，∴平面ADB⊥平面BDC. 湖北省利川市第五高级中学

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2、

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.

证明：

连接AC，交BD于点F，连接EF，

∴EF是△SAC的中位线，

∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD，

∴EF⊥平面ABCD. 又EF⊂平面EDB，

∴平面EDB⊥平面ABCD.

3、

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值

解析：

(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC. 湖北省利川市第五高级中学

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又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC. 因为BC⊂平面PBC. 所以平面PBC⊥平面PAC. (2)如图，过C作CM⊥AB于M，

因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，

所以PA⊥CM. 又因为PA∩AB＝A，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以CM⊥平面PAB. 过M作MN⊥PB于N，连接NC，易证CN⊥PB，

所以∠CNM为二面角C－PB－A的平面角．

在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝3，CM＝在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝5. 因为Rt△BNM∽Rt△BAP，

35所以＝，所以MN＝. 1105所以在Rt△CNM中，CN＝306，所以cos∠CNM＝，

546. 433，BM＝. 22MN32所以二面角C－PB－A的余弦值为

板

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书

设

计

作 业

布 置

教

学

反

思

1、课后习题

2、限时训练

3、“5+3”

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