3.3.4 两条平行直线间的距离第二课时教学实录

3.3.4两条平行直线间的距离教学设计

一、教学目标：

（一）知识与技能目标

1、通过几何图像分析，使学生能理解公垂线的定义；

2、通过复习引导、利用几何图形从点线位置转换到线线平行位置，使学生能利用点到直线的距离公式求两平行直线间的距离；

3、通过分析推理，利用点到直线的距离公式证明两平行直线间的距离公式，并使学生能掌握并准确应用该公式解决相关问题。

（二）过程与方法目标

课前下发导学案预习，让学生熟练应用点到直线距离公式及两平行直线的判定，为新课做好基础巩固。课堂教学从直接给出两平行直线距离定义导入，通过图像分析，使学生充分理解公垂线段长与点到直线的距离有相等关系。通过例1、例2、例3求点到直线距离确定两平行直线距离，加深学生对点到直线距离公式在两平行直线的距离中的应用，为证明两平行直线距离公式做好铺垫。通过变式练习，使学生在解决问题中深刻领会数形结合在解析几何问题中的重要作用。

（三）情感与态度目标

从学生的数学基础出发，教学中适时引导学生回顾知识点，有序举例可以让学生在学习上易于掌握新知识，提高他们学习数学的兴趣和信心；教师耐心解答引导也是培养学生学会关注他人、学会理解他人的良好品格。

二、教学的重点和难点：

重点：点到直线的距离公式在求两平行直线间的距离问题上的转化应用；利用求两平行直线间的距离公式快速解决相关练习。

难点：两平行直线间距离公式的证明及变式应用。

三、教学准备

多媒体、导学案

四、教学的方法和手段：

从本节课的内容出发，结合学生数学基础薄弱的现状，利用实际数值例子，引导学生用循序渐进的方法发现规律，解决疑惑。引导学生合作交流，通过对规律的探讨，从特例导出一般性质，并通过证明,确定规律的准确性。通过练习巩固、变式训练、多媒体演示、数形结合、概括总结等多种环节让学生乐于学习、勤于思考。

五、教学过程：

环节一 课前自主预习

1、求下列点到直线的距离：

（1）A（1,-2），l:2x+y-2=0: (2)B(1,0), l:3x-y=1 (3)C(4,3), l:y=x-2 2、试判断下列两直线的位置关系：

x1（1）2x-y+7=0, x+y=2; (2)x-2y-10=0, y

2(3)3x-4y+10=0, 9x-12y+30=0.

（设计意图：学生课前完成导学案预习部分，复习点到直线的距离公式，强调应用公式的直线方程必须为一般式；熟练两直线平行的判定,给学生明确本节课学习内容，有备而来）

环节二 探寻规律

导出公式

（二）、新课引入：

定义：两平行直线间的距离是指夹在

已知l1//l2，l3分别与l1、l2垂直，垂足分别为P、C.点A为l1上任意一点，A到l2的距离为AB.问：PC与AB是否相等？

教师提出问题探究：直线l1∥l2,如何求l1与l2间的距离？（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线间的距离？（2）如何取点可使计算简便？（引导学生合作探讨并举例）

（三）课堂主要教学

1、（1）点到直线的距离公式的应用举例：求点P（-5,7）到直线l1：12x+5y-3=0的距离。（做出垂线段PC,并求出PC的长，教师多媒体板演）。（2）经过点P（-5,7）做一条直线l2与l1平行，求两平行直线l1、l2间的距离。

（设计意图：作平行线，让学生观察所作平行线任意一点到已知直线的距离与PC的关系，引导学生导出公垂线段定义以及求两平行直线间距离可以用点到直线的距离公式解答）

2、已知直线l1：2x-7y-8=0,直线l2:6x-21y-1=0,l1与l2是否平行？求l1与l2间的距离。

（教师分析提问：利用直线方程判断两直线平行的依据是什么？两平行直线间的距离如何转化为点到直线的距离？在直线上如何取点能使运算更快捷？设计意图：引导学生灵活取值，并在书写格式上要调理清晰，课堂上注意培养学生讲究细节，教师多媒体解答板书展示过程。) 3、求两平行直线间的距离。（1）3x-2y-1=0与3x-2y+1=0；（2）x-y+2=0与x-y-2=0 (设计意图：让学生进一步巩固用点到直线的距离公式求两平行直线间距离的方法，同时为接下来的验证两平行直线间距离公式的应用预设结论，多媒体解答板书)

4、已知直线l1：Ax+By+C1=0与直线l2:Ax+By+C2=0平行.求l1与l2间的距离。

（设计意图：(1)通过例2、例3求两平行直线间距离的方法，确定直线l1上的点M（0,-d=C1）,利用点到直线的距离公式求l1与l2间的距离。B0C1C2AB22=C2C1AB22；（2）引导学生观察例1、例2、例3的解答过程，利用数值检验d=C2C1AB22应用的广泛性；（3）利用对例2中两平行直线间距离的检验来强调公式适用条件：两平行直线解析式为一般式且x、y系数要分别相等。）

5、课堂练***行直线间的距离

（1)2x+3y-8=0,2x+3y+18=0; (2)3x+4y=10,3x+4y=0. （3）x-5y+1=0,2x-10y-2=0 （设计意图：让学生在课堂上能较快地应用两平行直线间距离公式求解，达到本节课学习的最基本的目的和要求。学生自主运算，教师设问，发现问题及时解决。）

环节三 灵活应用平行直线间的距离公式解决相关问题

6、变式应用：

（1）到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线方程为( ) A.3x-4y-11=0 B.3x-4y+11=0 C.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0 D.3x-4y+11=0 或 3x-4y+9=0

（2）与两直线3x+2y-4=0,3x+2y+8=0的距离相等的点的集合是( ) A.3x+2y-2=0 B.3x+2y+2=0 C.3x+2y±2=0 D.以上都不对

（3）两平行线分别过点A（3，0）和B（0，4），它们之间的距离为d，则( )

A.0d3 B.0d4

C.0d5 D.3d5

（设计意图：课堂上适当在学习中融入灵活多变习题，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力，教师适时点评分析引导学生利用公式完成。）

7、课堂小结：两平行直线间的距离公式d=C2C1AB22应用公式时，两平行直线解析式为一般式且x、y系数要分别相等。(课堂要求学生自行小结本节课学习知识。) 环节四 课后训练

巩固知识 8、课后作业：

（1）已知正方形的两边所在直线方程为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为____________. （2）若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于5，求k的取值范围。

（设计意图：课后作业是课堂学习的延伸，通过课后作业可以很好地检测学生掌握知识的程度。第（1）题是对学生数型结合应用能力的检查；第（2）题可以参照变式应用中第（3）小题的解法求值，让学生学会举一反三。）

9、板书设计：

3.3.4两条平行直线间的距离学案

四、应用举例

1、例1至例3多媒体展示规范书写。

2、变式练习：

一、知识回顾: （1）设直线为3x-4y+c=0 ,由题意得：1、点P（x0,y0）到直线l:Ax+By+C=0C(1)d=2.解得：C=-11或9 22Ax0By0C3(4)的距离d=

A2B2（2）设直线为3x+2y+C=0，由题意得：

2、平行直线的判定：已知l1Ax+By+C1=0与直线l2:Ax+By+C2=0.若k1k2且C1C2l1//l2

B1B2d=C(4)3222C83222.解得：C=2 （3）利用图形分析求值

二、定义：

两条平行直线间的距离是指夹在两平行直线间公垂线段的长。

三、求两平行直线间的距离：

1、利用点到直线的距离公式d=五、小结：多媒体展示。

Ax0By0CABC2C1222

六、课后作业：

（1）已知正方形的两边所在直线方程为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为____________. （2）若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于5，求k的取2、两平行直线间的距离公式d=2值范围。

AB

（设计意图：知识回顾是从知识的连接点引入，有目的地板书是让学生在应用中高效的解决问题；在新课中的新概念新公式是学习重点，板书归纳总结有利于学生更好地侧重记忆和便于即时应用。）

（四）导学案：

（设计意图：针对学生的学习基础状况。让学生知道老师的授课目标、意图，让学生的学习有备而来，给学生以知情权、参与权。在教学过程中，学生则以导学案为载体，依据导学案，在教师的指导下进行自主学习、合作学习、师生互动探究。通过引导学生自学、合作，确保学生学习的主体地位，提高课堂教学效益，实现“以人为本，关注每一个学生”的新课程教学理念。）

附导学案

3.3.4两条平行直线间的距离学案

一、学习要求：利用点到直线的距离公式求两条平行直线间的距离；透过规律探索，证明两平行直线间的距离公式。

二、学习重点：运用两条平行直线间的距离公式解决相关问题，两平行直线的解析式要符合公式的要求

三、课前预习：

1、求下列点到直线的距离：

（1）A（1,-2），l:2x+y-2=0: (2)B(1,0), l:3x-y=1 (3)C(4,3), l:y=x-2 2、试判断下列两直线的位置关系：

（1）2x-y+7=0, x+y=2; (2)x-2y-10=0, y(3)3x-4y+10=0, 9x-12y+30=0.

四、

课堂新课学习

（一）新课引入：

1、定义：两平行直线间的距离是指夹在

x1

2已知l1//l2，l3分别与l1、l2垂直，垂足分别为P、C.点A为l1上任意一点，A到l2的距离为AB.问：PC与AB是否相等？

2、例1、 (1)求点P（-5,7）到直线l1：12x+5y-3=0的距离; (2)经过点P做一条直线

l2

与l1

平行，求两平行直线l1

、l2

间的距离。 p

l1 例2、已知直线：2x-7y-8=0,直线:6x-21y-1=0,问：与是否平行？若平行，求两直线间的距离。

例3、求两平行直线间的距离：

（1）3x-2y-1=0与3x-2y+1=0； （2）x-y+2=0与x-y-2=0.

例4、已知直线l1：Ax+By+C1=0,直线l2:Ax+By+C2=0.求l1与l2间的距离。

（二）思考与探究：例4两平行直线间的距离d=可否适用于任何一组

平行线间的距离？请说明理由；若适用，如何正确运用？

（三）、课堂练***行线间的距离

（1)2x+3y-8=0,2x+3y+18=0; (2)3x+4y=10,3x+4y=0; (3)x-5y+1=0,2x-10y-2=0.

（四）、变式练习：

（1）到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线方程为( ) A.3x-4y-11=0 B.3x-4y+11=0 C.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0 D.3x-4y+11=0 或 3x-4y+9=0

（2）与两直线3x+2y-4=0,3x+2y+8=0的距离相等的点的集合是( ) A.3x+2y-2=0 B.3x+2y+2=0 C.3x+2y±2=0 D.以上都不对

（3）两平行线分别过点A（3，0）和B（0，4），它们之间的距离为d，则( ) A.0d3 B.0d4 C.0d5 D.3d5

（五）、本节课你的收获是：

五、课后作业：

（1）已知正方形的两边所在直线方程为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为____________. （2）若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于5，求k的取值范围。