2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学活动设计方案

第七章

第二讲

A组基础巩固一、选择题

1．(2017·唐山期末)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱体称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为导学号

30072023( B )

A．4 C．4＋42 B．6＋42 D．2 2．(2017·内蒙古赤峰二中高三上学期第三次模拟数学试题)网格纸的小正方形边长为1，一个正三棱锥的左视图如图所示，则这个正三棱锥的体积为导学号

30072024(

B

) 99A．3

B．33

C．

D．3 22

可得答案．

[解析]

由已知中的三视图可得：三棱锥的底面边长和高，代入棱锥体积公式，

解：由已知中的三视图可得：

三棱锥的底面上的高为3，

故三棱锥的底a＝23，

故三棱锥的底面积S＝三棱锥的高h＝3，

1故棱锥的体积V＝Sh＝33，故选B．

34．(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为导学号

30072026(

A

) 111A．

B．

C．

D．1 6323·(23)2＝33，

4

6．(2017·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三上学期期末数学试题)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为导学号

30072028(

C

)

A．96 C．96＋4(2－1)π

B．80＋42π

D．96＋4(22－1)π

[解析]

几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的．

解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为22. ∴几何体的平面部分面积为6×42﹣π×22＝96﹣4π.

圆锥的侧面积为π×2×22＝42π.

∴几何体的表面积为96﹣4π＋42π.故选C．

7．(2016·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为导学号

30072029(

C

) 317A．

213C．

2B．210

D．310 [解析]

如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.

151又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝22213. 28．(2016·太原模拟)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为导学号

30072030(

A

) 2322A．

B．

C．

D．

6632522＋62＝

[解析]

如图，因为△ABC为边长为1的正三角形，且球半径为1，所以四面3体O－ABC为正四面体，所以△ABC的外接圆的半径为，所以点O到平面ABC3的距离d＝1－332626＝，所以三棱锥的高SF＝2OE＝，所以三棱锥的33113262体积为××1××＝，故选A．

32236

二、填空题

9．(2017·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_3__寸.导学号

30072031

(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，

下底面半径为6寸，高11为18寸. 因为积水深9寸，所以水面半径为(14＋6)＝10寸. 则盆中水的体积为23588ππ×9(6＋10＋6×10)＝588π(立方寸). 所以则平地降雨量等于＝3(寸). 故答案π×14222为3.

11．(2016·河北五校联考)已知球O的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于_50__.导学号

30072033

5[解析]

设球的半径为R，则4πR2＝25π，所以R＝，所以球的直径为2R＝5，2设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的表面积S＝2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)＝50. 三、解答题

12．(2016·安徽模拟)一个多面体的三视图如图所示，求该多面体的表面积.导学号

30072034

[解析]由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥．正方体的表面积为S＝24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形，其侧面面积的和为3，三棱锥的底面的边长为2的正三角形，其表面积的和为3，故所求几何体的表面积为24－3＋3＝21＋3. 13．右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.导学号

30072035

(1)画出该几何体的三视图；

(2)求四棱锥B－CEPD的体积．

[答案]

(1)略

(2)2 [解析]

(1)如图所示：

(2)∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，

∴平面PDCE⊥平面ABCD．

∵BC⊥CD，

∴BC⊥平面PDCE. 11∵S梯形PDCE＝(PD＋EC)·DC＝×3×2＝3，

2211∴四棱锥B－CEPD的体积VB－CEPD＝S梯形PDCE·BC＝×3×2＝2. 33B组能力提升

1．(2016·云南质检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于导学号

30072036(

A

) A．100π

C．25π

100πB．

325πD．

3[解析]

易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为S＝4πR2＝100π，故选A．

2．(2017·北京市朝阳区高三上学期期末统一考试数学试题)某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为导学号

30072037(

B

)

22A．

3C．2 4B．

3D．4 [解析]

空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图还原三视图

后放到长方体里如图所示，AD＝2，AP＝2，AD⊥AP，AP为四棱锥的高体积为14×2×2×2＝，故答案为B．

33

3．(2016·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为导学号

30072038(

D

)

A．200π

C．100π

B．150π

D．50π

[解析]

由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R满足2R＝42＋32＋52＝52，522所以该几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×()＝

50π，故选D．

24.(2016·浙江绍兴期末统考)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形．则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为_3__，4该四棱锥的体积为

.导学号

30072039

3

[解析]

根据题意还原出四棱锥模型如图所示，O为BC的中点，且PO⊥底面ABCD．由俯视图知，BC＝2，BO＝OC＝1，显然BA⊥平面PBC，DC⊥平面PBC，所以BA⊥BP，DC⊥PC，所以△ABP，△PCD为直角三角形．又侧视图为直角三1124角形，故△PBC为直角三角形，所以PO＝BC＝1，所以V＝×2×1＝. 233

5．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm).导学号

30072040

(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

(2)按照给出的尺寸．求该多面体的体积．

284[答案]

(1)略

(2)

cm3

3[解析]

(1)如图所示．

(2)所求多面体的体积是：

11284V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×(×2×2)×2＝

cm3. 323