阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法第二课时教案

高中数学 人教A版 必修2 第二章 阅读与思考

欧几里得《原本》与公理化方法

教学设计

作者：邯郸市永年区第二中学 高文帅

一、教材分析：

在立体几何前两章：空间几何体和点线面位置关系结束的时候，给出这个阅读与思考这一有着深厚数学文化背景的内容，恰到好处，这是学生形成数学核心素养的大好时机，尤其第二章引入了四个公理和几个定理，而且应用几个公理和定理对线面关系进行了证明，这时候有必要让学生知道几何体系是如何建立的，也就是公理化方法在建立几何体系中的作用，而且学生也是能够理解和接受的。这样学生就能够对所学知识的来源能够了解，还能够对于公理化方法在几何体系和其他科学体系建立中的作用有初步的认识，有助于帮助学生将所学知识系统化，并将所学知识进行直接应用，将所学思想方法进行迁移应用。

这样的阅读与思考，有利于学生感受数学的伟大作用和数学逻辑的科学性，并初步形成对知识的抽象思维、逻辑推理、直观想象、模型分析以及数学运算这五大核心素养以及有利于终身发展的核心素养。

我们只有利用好这个阅读与思考，才能不负教材编写者的良苦用心！

二、学情分析：

学生们已经学***面几何和高中的立体几何，对几何学中基础性的定义、公理、定理已经有了初步的认识，也学会了利用定理进行线面关系的证明，有了一定的抽象思维和逻辑思维能力；在此基础上学生们通常会思考：我们学这些有什么用？他们对自己所学知识更深层次的应用产生想法，产生欲望，这是形成数学核心素养的大好时机。这个时候，极其有必要让学生知道几何体系是如何建立的，也就是公理化方法在建立几何体系和其他科学体系中的作用，而且学生也是能够理解和接受的。并且应该能够运用已知的一些公理继续推理出一些结论。

三、教学目标：

知识与技能：1.了解《原本》的相关背景和简要内容。2.知道什么是公理化方法，了解公理化方法的作用，并应用公理化方法运用已知的一些公理定义进行推理论证得出结论，提高学生对科学知识的探究能力和逻辑思维能力等。并初步形成对知识的抽象思维、逻辑推理、直观想象、模型分析以及数学运算这五大核心素养。

过程与方法：通过感受欧几里得《原本》伟大之处，将所学知识重拾，并追本溯源，延伸推广，将所学知识进行迁移。让学生在文化背景中感受数学的伟大，在方法应用过程中感受数学逻辑的科学性以及公理化方法的伟大作用。

情感态度与价值观：在对欧几里得《原本》进行了解的过程中，感受其伟大的历史意义和科学意义，产生对数学由衷的热爱，并形成有利于学生终身发展的核心素养。

四、教学重点：欧几里得《原本》的形成过程与方法

五、教学难点：公理化方法及其应用

六、教学方法：情景导入，讲练结合

首先由欧几里得《原本》的数学文化背景导入，引出《原本》的主要内容，然后介绍《原本》的五条公理和五条公设，最后让学生应用已知的几个定义和公理来推证一些常见结论。让学生在文化背景中感受数学的伟大，在方法应用过程中感受数学逻辑的科学性以及公理化方法的伟大作用。

七、教学工具：多媒体课件、小白板、模型等

八、教学过程：

（一）、情景导入：

有这样一部流传了两千多年的宏伟巨著，大约在公元前300年，由古希腊数学家欧几里得编著完成，它既是数学巨著，又是哲学巨著，它是古希腊数学的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书，并且第一次完成了人类对空间的认识。 2000多年来，它一直统治着几何教学，从来没有一本科学书籍，能够象它那样连续

长期巩固地成为亿万学生所传诵的读物。直到今天，我们中学所学***面几何”

内容，仍然脱离不开它的范围。它从1482年第1次印刷出版之后，全世界用各种不同文字出版了1000多个版本以上，这个数字足以令今天数学教科书的编写家羡慕不已。这样普及而大量地印刷出版，其研究、使用和传播之广泛，在历史上除了《圣经》之外，没有任何其他著作，能与之相媲美的，所以人们把它称作“数学家的圣经”。 两千多年来，它一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾认真的学习过它，并从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。

甚至由于针对此书中一两句话的研究，就催生出了另一个伟大的学科——《非欧几何》，由对此书的研究，还形成了《公理学》这一学科。

【设计意图】：让学生在文化背景的震撼中感受《原本》的伟大以及数学的伟大。激发学生学习这个阅读材料的兴趣。

我们再来看一下古今中外伟大学者对它的评价！ （二）、国内外专家学者对《几何原本》的评价

我国明朝末年的科学家徐光启在评论这本书时说过：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”其大意是：读这本书的好处在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯，会按一定的法则，培养巧妙的思考。所以全世界人人都要学习它。徐光启同时也说过：“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。” 爱因斯坦更是认为：“如果欧几里得未能激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。

”

伯特兰·罗素（1872—1970年，英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，

）对这本书情有独钟，他在自传中写下了这样一段引人注目的回忆：“11岁时，我开始学习欧几里得的书，并请我的哥哥当老师。这是我生活中的一件大事，这本书犹如初恋般的迷人。”

少年时代的牛顿在剑桥大学附近的书店里买了这本关于几何的书，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把当初买的那本书从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础

。

后来牛顿这样说：从那么少的几条外来的原理出发，就能够取得那么多的成果，这是几何学的光荣。 捷克数学家波尔察诺讲述过自己的一段往事，有一年在布拉格度假时得了病，浑身颤抖，精神萎靡不振。这时他无意中拿起欧几里德的这本书，平生第1次阅读了第5卷中的比例理论，那种巧妙的处理使他满心欢畅，病痛竟然神奇般的痊愈了。此后，只要是他的朋友觉得身体不舒服时，他就建议朋友去服欧几里得的这副“灵丹妙药”。

【设计意图】：通过介绍古今中外大师级的伟大学者对此书的评价，而且这些名人都认真学习这本书，并通过学习《原本》给后人留下了伟大的科学遗产，那么我们普通学生更应该努力学习。进而激发学生学习数学的热情。

这到底是一本什么样的书呢？我首先给大家简单介绍一下。！ （三）、《原本》之简介 1.“原本”一词在希腊文中是指一门学科中广泛使用的最重要的定理。在我们汉语中，就是最原始的最本真的事物！

明朝末年，《原本》传入中国，1606年，由中国科学家徐光启执笔，意大利传教士利玛窦口译，合作翻译了《原本》前六卷，并与1607年在北京印刷出版。翻译时在“原本”前面加上了“几何”一词，一种说法是它可能是单词“geometry”中“geo”的音译。不过，我是这样认为的----中国早期的数学更讲究实用性，因此，做图形，研究图形，也都是为了找到图形中的各种量是多少，而在古汉语（文言文）中，一般不说“多少”，都说“几何”。比如，对酒当歌，人生几何；价值几何等等。所以这本书又叫《几何原本》，这也是我们现在数学中“几何”一词的由来。同时，确定了许多我们现在耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似、外切等等。

2.那么这样一本书，都写了哪些内容呢？ 《几何原本》共有十三卷。共含有5个公理、5个公设、119个定义和465个命题

。

第一卷

几何基础（23个定义、5个公理、5个公设和48个命题）

其中第14个定理就是三角形全等的边角边定理，第15个定理就是证明等腰三角形两底角相等，第47和第48个定理就是直角三角形的勾股定理以及其逆定理。

第二卷

几何与代数（14个命题），

如完全平方式和平方差公式，第12，13个命题就是现代的余弦定理， 第三卷

圆与角（39个命题） 第四卷

圆与正多边形（16个命题）

第五卷

比例理论 第六卷

相似

第七卷

数论（一）其中第一个问题就是求最大公约数的方法：欧几里得算法，也叫辗转相除法。

第八卷

数论（二）

第九卷

数论（三）（102个命题）

其中有关于素数有无限多个的证明。

第十卷

无理量（篇幅最长）

第十一卷

立体几何，其中有关于直线和平面的定义定理以及平行六面体的定义等等 第十二卷

立体的测量（穷竭法在此出现）

第十三卷

建正多面体（主要是球的内接正对面体）

【设计意图】：通过介绍原本的主要内容，学生就能真切的感受到《几何原本》一书内容之丰富，以及其内容和我们学过的知识的联系，从而激发他们的学习热情。

师：这么多内容，欧几里得是怎么完成的呢？

（四）、公理化方法的介绍

师：大家请看必修2第75页阅读与思考并找出以下两个问题的答案：

1.什么叫公理化方法？

2.公理化方法的意义和作用有哪些？

学生阅读并讨论思考以上问题，请学生给出回答。

教师进一步介绍：

五条公理

1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的图形是全等的； 5.整体大于部分。 五条公设

1.过两点能作且只能作一直线； 2.一条有限直线可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若所构成的同旁内角之和小于180°，那么把这两条直线延长，一定在那两个内角一侧相交。 和它等价的就是我们初中学过的平行线的判定定理:同旁内角互补两直线平行 这一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。值得注意的是，

第五公设既不能说是正确也不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外情况的讨论。这就是《非欧几何》诞生的源泉！

【设计意图】：通过介绍原本所引用的公理公设，让学生观察这10条内容的区别，并发现第五公设和其他几个的不同之处，并简单介绍第五公设和非欧几何。学生就能更真切的感受到《几何原本》一书的伟大之处：从那么少的几条定义公理出发进行论证，得出那么多结论，而且对后世的数学产生巨大的影响。学生就能初步体会公理化方法的重要意义，从而激发学生学习几何，学习数学的热情。

（五）、教师进一步讲解公理化方法的含义、意义与作用 《原本》的内容固然重要，但这些内容借以表现的形式更加重要，他是怎样从少数的几个原始概念和命题出发，运用了什么样的方法，推理出了如此多而且很重要的命题呢？他的伟大的历史意义就在于它在人类的数学史上第一次给出了公理化的数学体系。

公理化方法的含义

为了在演绎体系中建立一个命题，必须证明这个命题是前面建立的某些命题的一个必然的逻辑结论；而那些命题又必须由更早建立的一些命题来建立等等。因为这个链条不能无限的继续往前推，开始总要接受有限个不用证明的命题，否则就会犯循环推理的错误，即从A推出B，又从B推出A，这是不可原谅的。

这些最初的假定的命题称为该学科的公理或公设，而该学科的其他所有的命题，都建立在这些最初的公理和公设的基础之上，当一个学科的命题被这样排列时，我们就说这一学科被表示成公理化的形式。 在欧几里得的《原本》第一卷，他把人们公认的一些事实列成定义和公理，首先给出要素：23条定义、5条公设和5个公理。其中的定义有：点是没有大小的、线只有长没有宽等等。这些都是基础，是欧几里得体系的“已知”。他可以在任何时候直接应用这些要素，而不需要再证明。就像我们现在判断两条直线平行的方法：“同位角相等，两直线平行”不用再证明为什么同位角相等，两直线就平行。然后由简到繁地证明一系列定理及命题。

欧几里得以这些公理和公设为基础，采用逻辑推理的方法，由简到繁地证明了465个重要的命题和推论，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。这种独特的陈述方法，一直被无数后来数学家所沿用！而这种陈述方法，就叫做公理化方法！而这本书，也就成了欧氏几何的奠基之作。同时也使几何学成为一门独立的演绎的科学。 【设计意图】：通过进一步讲解公理化方法的含义，学生就能明白为什么要采用公理化方法。

公理化方法的意义与作用

除了几何体系之外，其他的数学分支，也都是这样建立的。例如牛顿的经典力学体系就是这样建立的。 牛顿的《自然哲学的数学原理》的结构:

定义1 物质的量是用它的密度和体积一起来度量的。

定义2 运动的量是用它的速度和质量一起来度量的(动能) 定义3 外加力是一种为了改变一个物体的静止或匀速直线运动状态而加于其上的作用力。

牛顿第一定律：每个物体能保持其静止或沿一直线作匀速运动的状态，除非有外力加于其上迫使它改变这种状态。

牛顿第二定律：运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所加的力的那个直线方向上。

牛顿第三定律：每一个作用力总是有一个相等的反向作用和它相对抗。 牛顿的三大定律，就是他建立经典力学的公理化基础， 也是他对物理学的一项伟大贡献。 【设计意图】：通过进一步讲解公理化方法的含义，并通过与学生共同回忆牛顿的《自然哲学的数学原理》，也就是牛顿的经典力学体系的牛顿三大定律，学生就能更真实的感受公理化方法的意义与作用，激发他们的学习热情。

师：这是公理化方法对伟大科学家的影响，那么对我们同学们有什么意义呢？

（六）、讲解公理化方法对我们同学来说有什么意义

1.培养和熏陶我们的逻辑思维能力

数学学习，重要的不在于只是记住概念、公式、定理和法则，而在于学会如何去获得这些知识，即学会正确地进行数学思维，逻辑思维正是数学思维的核心成分之一。逻辑思维能力是一种重要的数学能力。而公理化方法使逻辑思维在数学中的作用得以充分发挥，大大提高了数学教育的成效，实现高度的思维经济，这无疑对培养和熏陶学生的逻辑思维能力有其十分重要的作用和意义。此外，由于公理化方法可以揭示一个数学系统和分支的内在规律性，从而使它系统化，这也无疑有利于人们学习和掌握。

2.中学数学中的几何体系就是按照公理化方法的思想编排的，这使中学几何成为大家公认为最有利于培养逻辑思维能力的科目。 现行几何教材正是这样做的：通过采用扩大公理系统的方法，而其他概念、性质和定理则采用推理和直观相结合的方法演泽出来，即在学生可接受的情况下，充分体现公理化方法思想。

中学课本中的几何体系介绍 中学扩充后的平面几何公理七条： ⑴

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

⑵ 在所有连接两点的直线中，线段最短。

⑶ 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和该直线平行。

⑷ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么，这两条直线平行。

⑸ 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

⑹ 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

⑺ 矩形的面积等于它的长与宽的积。 立体几何公理六条： ⑴

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

(2)经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 (3) 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。

⑷ 平行于同一条直线的两条直线互相平行。

⑸

长方体的体积等于其长、宽、高的积。

⑹

夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

【设计意图】：回归到正在学习的几何学知识，复***面几何和立体几何的公理定理，学生就不会认为老师讲解的内容只是“假、大、空”，而是真正的“高、大、上”。学生也就能更真实的感受公理化方法的意义与作用，激发他们的学习几何，学习数学的热情。

（七）、课堂练习

我们也借助公理化的方法，利用一些已知的结论和方法，推证一些未知的结论或者方法，已知：

（1）

经过两点有且只有一条直线。 （2）

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和该直线平行。 （3）立体几何公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （4）

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 （5）矩形的面积等于它的长与宽的积。 小试牛刀

1.利用上面前三条公理，尝试一下能推证出什么结论 2.利用上面第四条公理，尝试一下证明三角形内角和是一个平角（180° ）

请学生上讲台讲解，教师点评

【设计意图】：学以致用，学习了公理化方法，只有通过应用，才能让学生亲身体会到公理化方法的应用：从一个简单的常识性的公理出发，就能推证其他复杂一点的结论。同时体会数学逻辑思维的巧妙与深邃，提高学生的动手能力、抽象思维能力、逻辑思维能力。

看似简单的几个结论，如果不告诉学生应用哪些现有的结论来证明，学生可能会无从下手，这就是公理化方法的意义。先通过两个简单的练习，让学生讲解并带动全体学生的学习积极性。

大展身手（请学生讲解前几个，教师简单点评）

利用上面第五条结论，尝试一下证明： （1）平行四边形的面积等于其底与高的乘积 （2）三角形的面积等于其任意一边与那条边上高的乘积的一半 （3）直角三角形的面积等于其两直角边的乘积的一半 （4）三角形的面积等于其周长与其内切圆半径的乘积的一半 （5）梯形的面积等于其两底之和与其高的乘积的一半 （6）正多边形的面积等于其周长与其边心距的乘积的一半 （7）圆的面积等于其周长与半径的乘积的一半 【设计意图】：课堂练习可根据课堂时间请学生讲解比较简单的前几个，学生就能进一步体会从一个简单的公理或定义竟然能推出这么多结论，从而体会公理化方法的意义和作用。

九、课后作业（见学案） 假设（1）圆心角用弧度制表示

（2）三角形的内角和等于180度 （3）等腰三角形两底角相等

（4）圆的切线垂直于过切点的半径 尝试证明下面的一些列结论： （1）三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和 （2）圆周角是同弧所对的圆心角的一半 （3）内接于半圆的角是直角 （4）圆的两条相交切线形成的角等于其所截的两个弧所对圆心角之差的一半 【设计意图】：课后巩固学到的公理化方法，对以前学过的直接应用的方法加以论证，体会知识方法的来源，进一步体会数学逻辑的巧妙与深邃，激发学习数学的兴趣。

十、课后反思

由于几何原本的内容极其丰富，学生的基础知识储备还不够充分，也由于一节课时间的限制，所以讲解过程有意降低了一点点难度，有很多更重要的更深层次的知识和方法（比如《原本》论证命题时所应用的逻辑推理的方法）没能更充分的讲解到位，但愿本堂课能够起到抛砖引玉的作用，如果能对学生今后数学学习兴趣的提高起到了一点点作用的话，我将无比欣慰！