3.2.2 直线的两点式方程优质课教案

3.2.2 《直线的两点式方程》教学设计

一、教学目的：

1.掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程. 2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力. 3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重难点：

教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导. 教学难点：直线方程的两点式、截距式的推导及运用. 三、内容分析：

本小节所介绍的直线方程的几种形式中，两点式、截距式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，直线方程的截距式、两点式都是由点斜式导出.讲解直线方程的两点式、截距式，着重于两点式的推导、应用以及斜率不存在的或为零时对两点式方程的讨论及变形. 四、教学过程：

（一）、复习引入：

1.直线的点斜式方程：

1(x1,y1)，且斜率为k，直线的方程：

已知直线l经过点P yy1k(xx1)为直线方程的点斜式. 直线的斜率k0时，直线方程为yy1；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为xx1. 2.直线的斜截式方程－已知直线l经过点P（0，b），并且它的斜率为k，直线l的方程：

ykxb为斜截式. ⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便. ⑵斜截式ykxb在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当k0时，斜截式方程才是一次函数的表达式. ⑶斜截式ykxb中，k，b的几何意义

王新敞【问题探究】：已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,怎么求直线的方程呢？

方法一：利用点斜式方程

方法二：利用方程的思想，待定系数法，设直线方程为y=kx+b

方法三：利用斜率相等

方法四：利用向量共线

设计意图：本环节从学生利用上节课学过的直线的方程的点斜式，求过两已知点的直线的方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要性，同时也“悟”也两点式的推导方法，以此导入新课，目的在于学生既加深学过知识的理解，又为学习新知识奠定良好的基础

（二）、讲解新课：

1.直线的两点式方程

王新敞已知直线上两点A(x1,y1)，B（x2,y2)

(x1x2)，求直线方程. 首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：

yy1y2y1(xx1) ①

x2x1由上式引导学生可以得到如下几种变形：

yy1xx1 ②

y2y1x2x1 ③

④

通过对①②③④式的对比分析，发现②式这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用.所以采用②式作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式. yy1xx1. y2y1x2x1【探究1】：是不是已知任一直线中的两点就能用两点式

yy1xx1

写出直线方y2y1x2x1程呢？

答：不是!

当x1 ＝x2或y1=

y2时,直线P1 P2没有两点式方程。(因为x1 ＝x2或y1=

y2时,两点式的分母为零,没有意义)

【探究2】：两点式不能用来表示哪些直线的方程呢? 答：两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．

【探究3】：若点P1 (x1 ,

y1

),P2(

x2 ,

y2)中有x1 ＝x2,或y1=

y2,此时过这两点的直线方程是什么? 答：当x1 ＝x2

时方程为：

x

＝x１

当

y1=

y2时方程为：

y =

y１

课堂练习1：求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程. (1)P(2，1)，Q(0，-3) (2)A(0，5)，B(5，0) (3)C(-4，-5)，D(0，0) 例1:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所

在的直线方程，以及该边上中线的直线方程. 分析：由两点式方程直接得到直线BC的方程；由中点坐标公式先得到BC中点M的坐标，再由两点式得到中线AM的方程

2.直线的截距式方程

已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程. 由两点式方程可得

将其变形为：xy1

ab定义：直线与x轴交于一点（a,0）定义a为直线在x轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,b）定义b为直线在y轴上的截距. 以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.有截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标

王新敞【探究4】：是不是任意一条直线都有其截距式方程呢? 答：不是，截距式只适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线。

设计意图：在讲完两点式后，紧接着讲解截距式，有利于比较两种形式的方程，从而有助于学生理解两者之间的内在的联系和区别，在具体应用截距式时能考虑到截距为0与不为0的两种情况，并建立完善的知识的结构. 课堂练习2：根据下列条件求直线方程

（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；

（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；

例2 求经过点P(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程. 解：由题知，直线的横纵截距都存在，所以 设直线方程为

xy1

ab 则有 解得：a=-3 ,b=5

所以直线方程为5x-3y+15=0 【变式】：求经过点P(0，5)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程. 解：由题知，直线的横纵截距都存在，所以 设直线方程为

xy1

ab 则有

解得：a=7 ,b=5或a=3 ,b=5 所以直线方程为5x+7y-35=0或5x+3y-15=0 例3、过点P(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条? 解: 两条. x+y-3=0或y=2x

【引申探究1】：过点P(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 解：三条。 x+y-3=0、x-y+1=0或2x-y=0 【引申探究2】：求过点P(1,2)，并且在x上的截距是y轴上截距的2倍的直线方程。 分析：直线方程为：2x-y=0或x+2y-5=0 （三）小结：

通过列表从名称、形式、已知条件、使用范围、示意图等方面对所学的直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行填表比较：

直线名称

点斜式

斜截式

两点式

截距式

已知条件

直线方程

使用范围

P1(x1,y1),kk，b

yy1k(xx1)

ykxb

k存在

k存在

(x1,y1)（x2,y2)

yy1xx1

y2y1x2x1xy1

abx1x2,y1y2

a,b

a0,b0

设计意图：为帮助学生用联系的观点来学习知识，又能把四种形式的直线方程加以区别，以便更好地运用它们，本环节主要采用比较法的形式小结. （四）、课后作业：

课本第100页习题A组的6、7、8、9题