3.3.4 两条平行直线间的距离10分钟试讲教案

3.3.1两条直线的交点坐标

3.3.2两点间的距离

八师第二高级中学

韩自敏

●三维目标

1．知识与技能

(1)会用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

(2)会用方程组解的个数判断两直线的位置关系．

(3)掌握直角坐标系两点间的距离，会用坐标法证明简单的几何问题．

2．过程与方法

(1)组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程．

(2)通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性．

3．情感、态度与价值观

(1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系，认识事物之间的内在的联系．

(2)体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题．

●重点难点

重点：判断两直线是否相交，交点坐标、两点间距离公式的推导．

难点：两直线相交与二元一次方程的关系、应用两点间距离公式证明几何问题．

重难点突破：以具体案例为切入点，先用多媒体让学生感知两直线相交的几何特征，然后引导学生借助方程的思想求其交点坐标．对恒过定点的直线系的探究，教师可通过几何画板，让学生通过“看一看、想一想”的方式给予突破．由于两点间距离公式是坐标法处理平面几何距离问题的有力工具，故可用几何问题代数化的思想导出两点间距离公式，同时渗透用代数方法解决几何问题的思想方法．

●教学建议

两条直线的交点坐标实际上就是对应二元一次方程组的解．所以，求交点坐标的关键就是求对应二元一次方程组的解；同时明确两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系(若方程组有唯一解，则此解就是两条直线的交点，若方程组无解，则两条直线平行)，而两点间的距离是勾股定理的应用，所以，在课堂教学中，应先复习二元一次方程组的解法和勾股定理，以便为本节课的学习做准备．坐标法的教学是本节知识的一个难点，教学时，教师可从建系原则、几何问题代数化等角度引导学生突破难点．在本节学习过程中，建议教师适当补充例题，通过题目训练，让学生充分体会用代数方法刻画两直线交点关系的过程(由数到形)，了解解析几何解决问题的基本方法，体会“数形结合”的思想．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：如何求两条直线的交点坐标？⇒引导学生结合初中学习过的二元一次方程组的解法及直线相交的特征给予解答.通过引导学生回答所提问题理解直线的交点同二元一次方程组解的关系.通过例1及其变式训练，使学生掌握两条直线的交点问题.

⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握两点间距离公式及应用.⇒⇒⇒⇒⇒结合两点间距离公式完成例3及其变式训练，初步培养学生用坐标法解题的思想方法.归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

课标解读

2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 3.掌握两点间的距离公式并会简单应用．(重点)

一

【问题导思】

思考

由两直线的方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？

答案

(1)若方程组无解，则l1∥l2；

(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；

(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合. 二 梳理

(1)两直线的交点

三 知识点二

两点间的距离

1公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ . 2. 文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关. 当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝

3 [思考辨析 判断正误]

1).若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(

) 2).点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(

) 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(重点)

3).无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.(

) 四

题型探究

（一）类型一

两直线的交点问题

例1．若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k＝_____.

1）跟踪训练1

已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象

限，则a的取值范围是________. 命题角度2

求过两直线交点的直线方程

例2

求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程. 引申探究

本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解

反思与感悟

求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程. 2. 跟踪训练

例3.直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为

A.2x＋y＝0

B.2x－y＝0 C.x＋2y＝0

D.x－2y＝0

（二）类型二

两点间的距离公式及其应用

例4

如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，

(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积

反思与感悟

(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向. (2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.

五

达标检测

1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是

2.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.以上都不是

3.已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为_____. 4.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为____________. 5.点A在第四象限，若点A到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标.

小结

1.方程组

有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即

两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)

是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2). 2.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2| 与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.