小结教案教学设计导入设计

教

学

设

计

第三章

补充内容——对称问题

教学目标分析：

知识与技能：

1、

理解掌握中心对称问题，并会求解简单问题

2、

理解掌握轴对称问题，并会求解简单问题

过程与方法：通过实际问题体会对称关系

情感态度与价值观：体会对称的美，培养数学审美意识和兴趣

重难点分析：

教学重点：中心对称和轴对称

教学难点：利用中心对称和轴对称解决简单问题

教学情景设计：

一

引入新课

多媒体播放一组日常生活常见的对称图片。由学生发现这些图片的共同特征，从而引出课题。

设计意图：激发学生的学习兴趣，使学生明白数学源于生活又应用与生活

二

课堂探究

1、点关于点的对称问题

提出问题：

(1)点M(x0,y0)关于原点的对称的点M'_________ (2)点A(x0,y0)关于点B(a,b)的对称的点A'_______________ 学生活动：由学生自己总结方法

学生活动：学生口答 （1）

点N关于点P(2,3)的对称点是M(1,2),则点N的坐标是_____________. （2）

点N(4,3)关于点P(2,3)的对称点是M的坐标是_____________. 2.直线关于点的对称问题

师生活动：利用数形结合的方法，引导学生将作图的过程转化成数学语言，激发学生采用多种方法求解

例1 求直线l:3xy40关于点P(2,1)

对称的直线l的方程. '

方法一：l上任取两点A,B,找出l'上的对称点A',B'

利用两点确定

一条直线。

方法二：利用直线系

解：所求直线与l平行

3xym0

设所求直线的方程为：

l上点(0,4)关于P(2,1)的对称点为(4,2)

又(4,2)在直线3xym0上

34-2m0m10

即所求直线方程为：3xy100

方法三：坐标转移法

设直线l关于点P的对称直线为l'，在l'上任取

'4-x,-2-y）.

一点A(x,y),则它关于点P的对称点A（A'在直线l上

（34-x）-(-2-y)-4=0

即 3x-y-10=0

学生活动：学生比较三种方法，从中选择适合自己的方法。

3、

点关于直线对称问题

师生活动：引导学生从特殊的直线入手，由学生亲自作图，从中总结出一般性的结论。

提出问题：

（1）

点(a,b)关于x轴的对称点的坐标是_____________.

（2） 点(a,b)关于y轴的对称点的坐标是_____________.

（3）

点(a,b)关于yx轴的对称点的坐标是_____________.

（4）

点(a,b)关于yx轴的对称点的坐标是_____________.

（5）

点(a,b)关于xm轴的对称点的坐标是_____________.

（6）

点(a,b)关于yn轴的对称点的坐标是_____________.

学生活动：学生思考问题，并回答。

例2 例2.已知直线l:3xy30,

求p(4,5)关于l的对称点。

解：设点p关于l的对称点为p'(x1,y1)

y15

31

则x14

34x15y130

22

x12 解得

y17



对称点的坐标为(2,7)。

学生活动:学生自己总结方法，可采取小组讨论

师生活动：学生回答，多媒体给出方法

设计意图：利用从特殊到一般，数形结合的数学思想，总结方法

P的坐标. 练习：求点P0(7,1)关于直线l:2xy50的对称点

设计意图：学生独立完成，加强理解

4、

直线关于直线的对称问题

提出问题：直线关于直线对称的情形有几种

学生活动：学生独立思考，回答问题

师生活动：根据前面研究问题的方法，类比研究直线关于直线对称问题

例3 已知直线1与求2关于直线2x2y10对称，若1的直线方程是3x2y10，

2的直线方程。

方法一：转化为点关于线的对称问题 在直线l1上取两点A、B,求出A、B关于直线2x-2y+1=0的对称点A'、B',则A'、B'在l2上，再由两点确定直线的方程.

方法二：坐标转移法 设直线l2上任意一点P(x,y),关于直线2x-2y+1=0的对称点为P'(x1,y1)，则y1y111xyx1x12 解得2xx12yy110yx11222点P'在直线l1上.11（3y）-（2x）+1=022即

4x-6y+3=0变式训练：求直线l1:2xy10关于直线l:2xy20对称的直线l2的方程.

学生活动：学生通过小组讨论，完成变式问题并总结解题方法。

设计意图：从相交对称变式到平行对称，激发学生的学习兴趣，加强探索精神的培养。

三

应用实践

1.

已知平行四边形两边的直线方程为x+y+1=0和3x-y+4=0，求对角线的交点（3，3）及其他两边所在的直线方程。

2.（1）在直线3xy10上求一点M, 使它到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大, 求此最大值.

（2）在直线3x-4y+4=0上求一点P，使它到点A(-3,5)和B(2,15)的距离之和最小，求此最小值。

3.若一束光线沿着直线x2y50射到x轴上后被反射，求反射光线所在直线的方程.

变式：一条光线经过点P(2,3)，射在直线l:xy10上，反射后穿过点Q(1,1)：

（1）求入射光线的方程；（2）求这条光线从P到Q的长度.

设计意图：通过实践应用，加强学生对中心对称和轴对称的理解，也使学生明白数学源于生活又服务于生活。

四

课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？

师生活动：先由学生思考回答，教师补充，特别注意向学生渗透数形结合和转化的数学思想。多媒体给出总结。

五 课外作业： 1、(1)求点P(4,0)关于直线5x4y210的对称点的坐标. (2)求直线l:4xy10关于点P(3,4)对称的直线的方程. (3)已知点P(1,2)、Q(1,0)关于直线l对称，求直线l的方程.

2、已知直线l1:xy10,l2:2xy30，求直线l2关于直线l1的对称直线l3的方程.

3、某县两相邻镇在一直角坐标系下的坐标为A(1,2)、B(4,0)，一条河所在直线方程为l:x2y100，若在河边l上建以座供水站P，使到A、B两镇的管道最省，问应该建在什么地方？

4、光线沿直线l1:x2y50照射到直线l2:3x2y70上后反射，求反射光线所在直线l3的方程.

5、已知点M(3,5)在直线l:x2y20和y轴上各找一点P和Q,使MPQ的周长最小.