1.4.1 全称量词第二课时教学设计

全称量词与存在量词

一、教学目标 1.知识与技能

（1）通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义．

（2）能够用全称量词符号表示全称命题，用存在量词符号表述特称命题．

（3）会判断全称命题和特称命题的真假．

2．过程与方法

（1）通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力．

（2）通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识．

3．情感、态度与价值观

通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣．

二、教学重点/难点 重点：理解全称量词与存在量词的意义．

难点：判断全称命题和特称命题的真假．

三、教学用具 多媒体

四、

教学过程 （一）、新知探究

问题导思1：

命题“任意三角形的内角和为180°”中使用了什么量词？你还能举出几个含有这样量词的命题吗？

【提示】

使用了量词“任意”，能，如“任意的正方形都是平行四边形”，“对任意的x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立”等．

1．全称量词和全称命题的定义

短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．

2．全称命题的形式

设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为x∈M，p(x). 问题导思2

命题“存在实数a，使关于x的方程x2＋x－a＝0有实根”中使用了什么量词？你还能举出几个含有此量词的命题吗？

【提示】

使用了量词“存在”，能，如“存在整数n，使n能被13整除”，“存在实数x，使x2－2x－1＞0成立”等．

1．存在量词和特称命题的定义

短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．

2．特称命题的形式

设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么特称命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x). （二）、典例精讲

题型1

全称命题的构成与真假判定

例1.用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：

（1）x2＋2x＋3≥2. （2）终边相同的角的正弦值相等．

（3）指数函数都是单调函数．

【解析】

（1）x∈R，x2＋2x＋3≥2，因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，故是真命题．

（2）所有终边相同的角的正弦值相等，真命题．

（3）任给一个指数函数，则它都是单调函数，真命题．

【小结】

1．全称命题的统一形式为“x∈M，p(x)”，“∀”表示“任意”“所有”等量词，集合“M”表示给定的范围，“p(x)”表示某一性质．

2．判断全称命题的真假，可以先找反例，若找到一个反例，说明全称命题是假命题，若找不到反例，就可以尝试证明命题是真命题．

（三）、变式训练

用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：

（1）sin 2x＝2sin xcos x. （2）三角形有外接圆．

（3）非负实数有两个偶次方根．

【解】

（1）x∈R，sin 2x＝2sinxcos x．真命题．

（2）任意三角形都有外接圆．真命题．

（3）所有的非负实数都有两个偶次方根．假命题. 题型2

特称命题的构成与真假判定

例2.用存在量词将下列语句写成特称命题，并判断真假．

（1）x2＋2＝0能成立；

（2）不是每一个菱形都是平行四边形；

（3）素数也可以是偶数．

【解析】

（1）x∈R，x2＋2＝0，假命题；

（2）存在一个菱形不是平行四边形，假命题；

（3）存在一个素数是偶数，真命题．

【小结】

1．特称命题的统一形式为“x∈M，p(x)”，“”表示“存在”“至少有一个”等量词．

2判断特称命题的真假，可以先找满足性质的元素，若找到一个元素，说明特称命题是真命题，若找不到，就是假命题．

变式训练

（1）奇函数也可以是偶函数．

（2）不是每一个四边形都有外接圆．

【解】

（1）存在函数既是奇函数又是偶函数，如f(x)＝0，x∈R，真命题；

（2）存在一个四边形没有外接圆，真命题. 【答案】

[－4,0] 题型3

全称量词与存在量词的综合应用

例3.（1）已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

（2）令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．

【解析】

（1）∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥

∴实数a的取值范围为（，+∞）

（2）令y＝sin x＋cos x，x∈R，

∵y＝sin x＋cos x＝又∵∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，

∴只要m<即可，

∴所求m的取值范围是(－∞，）

【小结】有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．

变式训练

（1）对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立．求实数m的取值范围；

（2）存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．

解析：

（1）令y＝sin x＋cos x，x∈R，

又∵∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，

∴只要m<－即可．

∴所求m的取值范围是(－∞，－）

（2）令y＝sin x＋cos x，x∈R，

又∵x∈R，sin x＋cos x>m有解，

∴只要m<即可，

∴所求m的取值范围是(－∞，). 四、当堂检测

1．“a⊥α，则aB．存在性命题

C．不是命题 命题

【解析】

命题中含有全称量词“任一条”，所以为全称命题．

【答案】

A 2．下列命题中是存在性命题的是() A．x∈R，x2≥0 B．x∈R，x2<0 D．假

C．平行四边形的对边不平行

D．矩形的任一组对边都不相等

【解析】A为全称命题，B中含有“”是存在性命题，而C，D也可以看作全称命题．

【答案】B 3．下列命题中的假命题是

() A．x∈R，lg x＝0 B．x∈R，tan x＝1 C．x∈R，x3>0

D．x∈R,2x>0 【解析】对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；

对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；

对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；

对于D，x∈R,2x＞0，正确．

【答案】C 4．填上适当的量词符号“”“”，使下列命题为真命题．

（1）________x∈R，使x2＋2x＋1≥0；

（2）________a，b∈R，使方程组有唯一解．

【解析】

（1）∵(x＋1)2≥0恒成立，应填“∀”．

（2）把ax＋by＝1，a2x＝2看成两条直线，故存在a，b的值使两条直线相交，应填“”．

【答案】（1）（2）

（四）课堂小结 1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题涉及的意义去判断．

2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．

3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题. （五）板书 1.4.1全称量词

1.4.2存在量词