复习参考题全国优秀课堂实录

长沙市中(小)学教师统一备课纸

科目

数学

年级

高二

班级

时间

几何法在圆锥曲线中的应用

1.知识与技能:利用纯几何的方法解决圆锥曲线中有关的轨迹问题、参数的取值范围、离心率和有教学目标

关线段长度的计算; 2.过程与方法:通过例题引导学生在解决解析几何问题的过程中找几何关系,从而避免繁复的代数运算,准确快速地解决好解析几何问题; 3.情感、态度与价值观:培养学生思维的灵动性,注重在数学学习的过程中数与形的转换,体验数学学习中的快乐.

教材分析

教学重点:几何法在圆锥曲线中的应用; 教学难点:怎样在圆锥曲线中找几何关系.

实

一、新课引入

同学们知道,圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分,而平面解析几何的本质是利用代数的方法来研究几何.那么在圆锥曲线中的代数方法是什么呢?就是在平面上建立平面直角坐标系,把平面上的点用坐标表示出来,这样平面上的曲线与方程就对应起来了,我们通过研究方程去研究平面上的曲线,这是我们解析几何的核心内容——坐标法.坐标法在圆锥曲线中是最常用也是最基本的方法,但有些圆锥曲线问题运用坐标法求解,往往要用到繁琐的推理和计算.对圆锥曲线中有些问题的求解,若能回到几何的本质,不仅能减少计算,也有利用渗透数形结合的思想,给解题带来方便,使问题获得巧解、妙解.本节课我们来一起学习圆锥曲线中的几何法. 施教学过程设计二、新课设计

例1.无论m为何实数,直线l:yxm与双曲线C:公共点,试求双曲线C的离心率e的取值范围. xy1恒有22abO 22y x x2y2【解析】依题意只需l:yxm的斜率比C:221的渐近线abbbyx的斜率小,即1,解得e2. aax2y21恒有公共点,试求实数m的取值范围. 变式训练1:已知直线ykx1与椭圆C:5m【解析】因为直线ykx1恒过定点(0,1),故只需(0,1)在椭圆上或椭圆内, 0212即1,即m1,又m5,故m的取值范围是[1,5)(5,). 5mx2y2例2.已知点P是椭圆C:221(y0)上的动点,F1,F2是椭圆的左右焦点,O为坐标原点,若abM是F1PF2的角平分线上一点,且FMMP0,求|OM|的取值范围. 1

【解析】延长F1M交PF2于点Q,依题意M是FQ的中点, 1y P F1 O O是F1F2的中点,所以|OM|11|F2Q|(|PF1||PF2|), 221|F1F2|c.又|OM|0,所以|OM|的取值范围是[0,c). 2变式训练2:点P是以为焦点的椭圆上的一点,过焦点作

M F2 x 的外角平分线的垂线,垂足为M点,则点M的轨迹是

(

) A.抛物线

B.椭圆

C.双曲线

D.圆

y P M F1 O 【解析】延长F2M交F1P于点Q,依题意M是F2Q的中点, 1所以|OM||F1Q|a.所以点M的轨迹是圆. 2x2y2例3.双曲线221(a0,b0)右支上任意一点P和两焦点abF1,F2为顶点的三角形的内切圆与F1F2切于点C,求|FC1||F2C|的值.

F2 x 【解析】记PF1F2的内切圆I与各边分别相切于点A,B,C,则PAPB,F, 1AFC1F2BF2C,且ICF1F2.由双曲线的定义知:PF1PF22a, F1AF2B2a,FCF2C2a,OF2OCF2C2a,2OC2a,即OCa, 1PF1F2的内切圆圆心I的横坐标为定值a. 2|FC|FC1|ca,|F2C|ca,1||F2C|(ca)(ca)b. 变式训练3:如图所示,已知点A(9,0),B(3,0),C(3,0)是直线m上的三点,且|AB||BC|6,'O'切直线m于点A,又过B,C作O异于m的两切线,切点分别为D,E,设两切线交于点P,则动点P点的轨迹方程为

. P 【解析】依题意|PB||PC||PD||DB||EC||PE|

E D |CB||CA|182a,|BC|2c

x2y2所以点P点的轨迹方程为1(y0). 8172B m A x2y2例4.如图所示,A,B,C是双曲线221a0,b0上的三个ab点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BFAC且BFCF,试求该双曲线的离心率. 【答案】C 10

2【解析】由题意得可得在直角三角形ABF中,OF为斜边AB上的中线, 即有AB2OA2OF2c,设A(m,n), m2n2ac2b2b2则mnc,又221,解得m,n, abcc222

ac2b2b2ac2b2b2即有A(,),BA(,),又F(c,0),由于BFAC且BFCF, ccccyb2ac2b22b22可设C(x,y),既有)()(xc)2y2,可得

1,又(cccxcc2ac2b2b2c2ac2b2c2b2c2ac2b2c2,将C(x,y,)代入双曲线的方程,可得

ccccc(b2c2)2(ac2b2c2)222222223bca,e,化简,由,可得

1cb(ba)aac2a2c2b2(2e21)(e22)21,对照选项,代入检验可得e

10成立,故选A. 2x2y2变式训练4:F是双曲线C:221a0,b0的右焦点,过点F向C一条渐近线引垂线,垂足为A,ab交另一条渐近线于点B.若3AFFB,则C的离心率是

(

) 614A.2

B.2

C.

D.

23

例5.已知曲线C:y24x的焦点为F,过点F的直线l与曲线C交于P,Q两点,且FP2FQ0,试求OPQ的面积. 【答案】32

2

变式训练5:过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交

于A,B两点,则A.5

|AF|的值等于

(

) |BF|

C.3

D.2

B.4

四、互动小结

1.平面几何法在求解圆锥曲线问题中的地位: 圆锥曲线问题的求解主要是坐标法,平面几何法只是求解部分圆锥曲线问题的较为简捷的一种方法,并非所有的圆锥曲线问题都可以用平面几何法. 2.哪些圆锥曲线问题适合选取平面几何法求解: 一般地,以特殊平面几何图形与圆锥曲线为背景,且这些几何图形的重要几何性质中涉及到的有关量与圆锥曲线的定义、几何性质有着紧密联系的试题都可以考虑用平面几何法求解.尤其是对以圆锥曲线焦点弦(包括通径)、焦半径、准线、渐近线等构成的几何图形为背景的试题,平面几何法的求解显得更为突出. 3.如何挖掘试题背后的几何性质利用平面几何知识求解圆锥曲线问题: 深入挖掘试题背后的有关几何性质是平面几何法求解圆锥曲线问题的关键.这就需要大家熟练掌握一些常见平面几何图形的几何性质,并能通过分析、联想、推理将圆锥曲线的定义、几何性质、特征量与之有机结合,寻找到问题解决的切入点与突破口,从而达到求解问题的目的. 五、作业布置

教学反思