3.2.1 几个常用函数的导数优秀公开课教案

3.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；

2.

利用公式解决简单的问题。

教学重点和难点

1．重点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数。

教学方法：

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程：

一 复习

1、函数在一点处导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的步骤。

二

新课

例1．推导下列函数的导数

（1）f(x)c

解：yf(xx)f(x)ccy0，f'(x)limlim00

x0xxxxx0 1. 求f(x)x的导数。

解：yf(xx)f(x)xxxy1， f'(x)limlim11。

x0xx0xxxy'1表示函数yx图象上每一点处的切线的斜率都为1.若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

思考：(1).从求yx，y2x，y3x，y4x的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？

(2).函数ykx(k0)增的快慢与什么有关？

可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.

1 '

2. 求函数yf(x)x2的导数。

yf(xx)f(x)(xx)2x22xx，

解：

xxxy'f'(x)limylim(2xx)2x。

x0xx0y'2x表示函数yx2图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化：

(1) 当x<0时，随着 x的增加，yx2减少得越来越慢；

（2）当x>0时，随着 x的增加，yx2增加得越来越快。

3. 求函数yf(x)1x的导数。

1解：

yxf(xx)f(x)1xxxxxx(xx)x(xx)x1x2xx，

y'f'(x)limyx0xlimx0(1xxx12)x2

思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？

kf'(1)1，所以其切线方程为yx2。

(2)改为点（3，3），结果如何？

(3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。

三 例题

1. 试求函数yf(x)x的导数。

解：

yf(xx)f(x)xxxxxx　　(xxx)(xxx)x(xxx)

　＝1(xxx)y'f'(x)limyx0xlim1x0xxx12x

2

2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程。

解：y'2x，设切点为M(x'0,y0)，则yxx02x0.

因为PQ的斜率k41211,又切线平行于PQ，

所以k2x11101，即x02，切点M(2,4)，

所求直线方程为4x4y10。

四 练习

1.如果函数f(x)5，则f'(1)（ ）

A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在

2.曲线y2x21在点（0，1）的切线斜率是（ ）

A.-4 B.0 C.2 D. 不存在

3.曲线y1212x在点(1,2)处切线的倾斜角为（ ）

A. 4 B. 1 C. 4 D. 54

答案：1.C 2.B 3.C 五

小结

1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；

2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。六

作业

1. P85 ，A组 1 2.求双曲线y1x过点(2,12)的切线方程。

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