3.4 生活中的优化问题举例课件配套优秀教案案例

刘邹庆+生活中的优化举例教学设计

教学目标：通过本节学习,初步了解导数在实际问题中的应用主要是解决：⑴与几何有关的最值问题；⑵与物理学有关的最值问题；⑶与实际生活有关的最值问题。

教学过程：

【典型例题讲练】

1．与几何有关的最值问题：

例1．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底的铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

练习：某种圆柱形饮料罐的容积为V，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？

变式1：表面积为定值S，如何制造，才能使其容积最大？

变式2：例中若罐底单位造价为周围单位造价为侧壁部分单位造价的2倍，如何设计尺寸，使总造价最低？

变式3：有一底半径为r（cm），高为h（cm）的倒立的圆锥容器，若以n(cm3)/s的速度向容器里注水，求注水t(s)的水面上长的速度。

2．与物理学有关的最值问题；

例2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y13x3x8(0x120).已知甲12800080乙两地相距100千米。

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

3．与实际生活有关的最值问题：

例3．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）．如果C(x)＝106x30.003x25x1000，那么生产多少单位产品时，边际C(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

（2）．如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？

变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系是：C＝100＋4q，价格P与产量q的函数关系为P＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大？

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【课堂检测】：

1．若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是______________．

322．已知函数y=－x－3x+9x－1在[－3，a]上的最小值为－77，则a=________．

3．若a＞3，则方程x3－ax2+1=0，在[0，2]恰有________个实根．

4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1=17x2，生产总成本y2(万元)也是产量x(千台)的函数；y2=2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产__

__．

5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积V，那么其表面积最小时底面边长为

．

6．用总长为14.8的钢条制做一个长方体容器的框架，如果制做的容器底面的一边比另一边长0.5m，则高为多少时容积最大？并求出它的最大容积．

【课堂作业】

1．函数f(x)=ax3+(a－1)x2+48(a－2)x+b的图象关于原点中心对称，则函数f(x)的单调区间为

．

2．过曲线C：y=x2－1(x＞0)上的点P作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点M、N，试确定点P的坐标，使△MON面积最小．

3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元之间的关系为P24200吨）12x，且生产x吨的成本为R=50000200x（元），问该厂每5月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

4．已知函数f(x)=x3(b1)x2cx(b、c为常数) （1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；

（2）若f(x)在x∈(－∞，x1)，(x2，+∞)上单调递增且x∈(x1，x2)上单调递减，又x2－x1＞1，求证：b2＞2(b+2c) ．

（3）在（2）的条件下，若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小并加以证明

13125．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在缺皮的四角各截去一个面积相等的小正方形后把四边折起焊成铁盒，所做铁盒容积最大时，截去的正方形的边长为_____________。

6．如图，把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h所做成的盒子体积V(不计接缝). （1）写出体积V与高h的函数关系式；

（2）当a为多少时，体积V最大，最大值是多少？

h

7．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

A

E

F

B

C O O1