1.2.1 充分条件与必要条件ppt课件配套教案内容

教学准备 1.

教学目标 1.知识与技能

（1）正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念．

（2）能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系．

（3）在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．

2．过程与方法

（1）培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性．

（2）培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律．

（3）培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．

3．情感、态度与价值观

（1）通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受．

（2）通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养学生的辩证唯物主义观点．

2.

教学重点/难点 重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．

难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性

3.

教学用具 多媒体

4.

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教学过程

一、问题导思

1.给出下列命题：

（1）若x＞a2＋b2，则x＞2ab. （2）若ab＝0，则a＝0. （3）若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数．

命题（1）的条件成立，结论一定成立吗？命题（2）中呢？

【提示】

命题（1）中只要满足条件x＞a2＋b2，必有结论x＞2ab成立；命题（2）中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0. 命题“如果p，则q”为真命题，我们就说由p成立可以推出q成立，记作p⇒q，读作“p推出q”．这时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 2．若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？

【提示】

因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．

如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. p是q的充要条件，又常说成“q当且仅当p”或“p与q等价”

二、典例精讲

命题方向1

充分条件、必要条件、充要条件的判断

例1.（1）(2013·陕西高考)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a//b”的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )

A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C.a2>b2

D．a3＞b3 【解析】

（1）当|a·b|＝|a//b|时，

若a，b中有零向量，显然a//b；

若a，b均不为零向量，则|a·b|＝|a||b||cosa，b|＝|a||b|，

∴|cosa，b|＝1，

∴a，b＝π或0，

∴a//b，即|a·b|＝|a||b|⇒a//b. 当a//b时，a，b＝0或π，

∴|a·b|＝||a||b|cosa，b|＝|a||b|，

其中，若a，b有零向量也成立，即a//b⇒|a·b|＝|a||b|，

综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a//b”的充分必要条件．

（2）若a＞b＋1，则a＞b一定成立；但若a＞b，a＞b＋1不一定成立，因此“a＞b＋1”是“a＞b”的一个充分不必要条件；

若a＞b－1，则a＞b不一定成立，不是充分条件；

若a2＞b2，则a＞b不一定成立，不是充分条件；

若a3＞b3，则a＞b一定成立；若a＞b，则a3＞b3也一定成立，因此“a3＞b3”是“a＞b”的一个充要条件．

【答案】

（1）C（2）A 【小结】充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p与结论q之间的因果关系，在具体判断时，常用如下方法：

（1）定义法：

①若p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；

②若q⇒p，但p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；

③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；

④若p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．

（2）集合法：

如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．

①若A⊆B，则p是q的充分条件；

②若A⊇B，则p是q的必要条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若A⊆B，且B⊆A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．

（3）等价法：

当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可以利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即判断其逆否命题是否成立．

三、变式训练

（1）设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的() A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的() A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】

（1）若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．

（2）由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．

【答案】

（1）A（2）C 命题方向2

充分条件、必要条件、充要条件的应用

例2.是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．

【解析】由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1. 令A＝{x|x>2或x<－1}，由题意得B⊆A，即－≤－1，即p≥4，

此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．

【小结】

（1）设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A⊆B. （2）由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3. ∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．

∵p⇒q而q⇒p，∴AB，∴－≤－1，

∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞). 命题方向3

充要条件的证明

例3.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)．

求证：{an}为等比数列的充要条件是q＝－1. 【解析】

充分性：当q＝－1时，Sn＝pn－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，

当n＝1时，也成立，

∴数列{an}的通项公式为an＝pn－1(p－1)．

又∵p≠0且p≠1，

∴数列{an}为等比数列．

必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．

∵p≠0且p≠1，

又∵{an}为等比数列，

综上可知，{an}是等比数列的充要条件是q＝－1. 【小结】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性．

四、变式训练

已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 【证明】必要性：

∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0，

∴a3＋b3＋ab－a2－b2 ＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2) ＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

充分性：

∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，

又ab≠0，∴a≠0且b≠0，

∴a2－ab＋b2＝∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

五、当堂检测

1．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的(

)条件．

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

【解析】因为逆否命题为假，那么原命题为假，即A /⇒B，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．

【答案】B 2．不等式成立的一个充分不必要条件是( )

A．－1＜x＜0或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．x＞1 D．x＞1 【解析】

画出y＝x与y＝的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x－＞0⇔－1＜x＜0或x＞1，显然x＞1；但D/⇒x＞1. 【答案】D 3．若集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x||x－a|＜1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】

A＝{x|x2－5x＋4＜0}＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}．若B⊆A，则满足解得2≤a≤3，所以“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件，选A. 【答案】

A 4．已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|＜a(a＞0)．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

【解】

A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3＜x＜a＋3}，因为p是q的充分不必要条件，从而有A⊆B.故解得a＞4.

板书 充分条件与必要条件