2.3 抛物线（通用）教案设计（一等奖）

函数的最值与导数（一）教学设计

宁乡市第九高级中学

周献忠

一、教学目标：

1、知识与技能：

会利用导数求函数的极大值和极小值.以及闭区间上连续函数的最大(小)值.培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。

2、过程与方法：

通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。

3、情感态度与价值观：

经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。

二、教学重点与难点

重点：会求闭区间上连续函数的最值．

难点：本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法

三、教学方法：问题解决法、类比发现法、研究发现法

四、教学过程：

环节

复

习

引

入

教

学

过

程

先做一个题目作为引入

课前练习、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在

x=-2,x=1 处取得极值：

(1)求函数的解析式；

(2)求函数f(x)的单调区间。

结合练习，师生探讨两个问题：

1.怎样求函数的极值？

设

计

说明

通过复习极值让学生深刻感受极值的概念及求法；

利用课件的生动性激（1）通过图像让学生指出图中函数的极值点与极值感受直观的极发学生的兴值；

趣，加深对极(2)在没有函数图像的情况下，怎样求函数的极值，步骤是什么？值的求法。

（求导函数、令导函数为0，列表）

2.函数的极大值一定大于极小值吗？

通过图像让学生知道结论是不一定的，感受极值属于函数的局

1

部性质。

引出如何刻画函数的整体性质——函数的最值，利用导数求函

数的最值是本节课学习的内容。引入新课。

新

课

讲

析

2

本节课主要研究求闭区间上连续函数的最值

提出新的问题：怎样区分函数的极值与最值

我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值

出示下图，让学生观察极值与最值并创设问题情境

问题情境1最大值与最小值可能在何处取得？

问题情境2怎样求最大值与最小值？

活动一：

通过观察图像求函数的最值与极值

学生通过观察图像感受极值与最值的区别，从而引发学习本节内容的兴趣。

通过问题的研究培养学生观察能力、独立思考能力及合作探究能力

从图像中感知函数的极值和最值的区别

通过学生交流沟通归纳出求函数最值的方法

活动二：在没有图像的前提条件下，如何求

函数的最大值与最小值呢？可以利用导数吗？让学生探究在闭区间内求函数最值的步骤：

①求函数在开区间内的极值；

②求函数在闭区间端点的值；

③将函数在区间内的所有极值与区间端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

活动三：教师和学生合作完成例题1

例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的

最大值，最小值。

【师生共析】要求函数的最值，先找出函数的极值

以及端点处的函数值最后进行比较即可。

教师板书解题过程

解：f`(X)=3X-12令f‘(x)=

3X-12=0解得：22规范解题过程体会利用导数求函数最值的步骤

通过课堂练习，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．

出示的这两道题具有梯度，

让人人都

能有所体验

教学方式：请学生板演

x1=-2，

x2=2在[0, 3]上x1=-2应该舍去。当x变化时,y′,y的变化情况如下表:

x

f`(X)

0 （0，2）

-

单调递减

2 （2,3）

3 +

单调递增

0

极小值-4

0

3 f(x)

12

3

因此,当x=2时有极小值,并且y极小值=-4;而,无极大值,结合端点值，得出函数有最大值为12，最小值为-4.

活动四：出示一道题让学生练习

（教师引导学生讨论解答，并个别答疑、点拨，收集学生的解法，挑出若干答案在进行展示，并进行点评。）

练习1：求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间

[-1,1]上的最值。

活动五：教师和学生合作完成例题2例题3

例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，

求它在该区间上的最小值。

例3、证明：当x>0时，x>ln(1+x)

活动六：出示一道题让学生练习

练习2:当x>1时,证明不等式

12x3.x

课

堂

小

结

作

业

课堂小结：让学生谈谈本节课自己的收获

1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在

[a,b]上必有最大值与最小值;

2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;

3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定.

通过小结

培养学生归纳总结的能力以及语言表达能力

已知函数y=ax³-6a

x2+b在上［-1,2］的最大值是3,最小值是-作业布置具有梯度性，让29,求a,b的值

人人都有收4

设

置

获

导数与函数的最值

一、求在闭区间【a，b】上连续函数f(x)的最值的步骤：

1.求函数f(x)

在

(a,b)

内的极值；

2.求函数f(x)

在区间端点

f(a) f(b)

的值；

3.将函数f(x)

在各极值与f(a) f(b)

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

二、例题讲析

清晰的呈现本节课的核心

板

书

设

计

5