三角形中的垂直平分线ppt课件课堂实录

第一章

三角形的证明

3．线段的垂直平分线(二) 一、教材分析

本节课是北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》第三节《线段的垂直平分线》第二课时的内容，本节课以全等三角形和等腰三角形的有关性质为基础展开的，新课程标准将本课安排在这里，首先是用证明的方式将八年级上册得到的三角形的有关结论加以验证，同时为后面学***行四边形的相关性质提供教学依据；其次，在能力培养上，无论是逻辑思维能力、推理能力，还是分析问题和解决问题的能力，都可在本节课得到进一步提高。因此，教材安排符合新课程标准螺旋上升的要求，也符合知识体系的要求。

二、学情分析

通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要的方法。但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解．

三、教学目标

在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课的主要任务是性质和判定的应用。因此本节课的三维目标为：

知识与技能目标

1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点

2.经历猜想、探索，能够做出符合条件的三角形。

过程与方法目标

1.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力,体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．

情感态度与价值观目标

1.积极参与教学活动，对数学有好奇心和求知欲。

2.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

教学重点、难点

重点：

①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．

②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．

难点：

证明三线共点。

四、课前准备及教学方法

课前准备有三角形纸片、直尺、圆规、以及课件。

本节课的教学方法有：探究法、讨论法、讲授法。

五、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：新课探究；第三环节：小组合作；

第四环节：动手操作；第五环节：思维拓展；第六环节：课时小结

；第七环节：课后作业。

1. 情景引入

活动内容1：尺规作图作三角形三条边的垂直平分线。

活动过程：

教师请学生利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，并提出问题：当作完此题时你们发现了什么? “三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．”等都是学生可以发现的直观性质。

【设计意图】：让学生利用自己的动手体会三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。

活动内容2：通过折叠找出每条边的垂直平分线

教师请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你们是否发现同样的结论?与同伴交流。

【设计意图】：让学生进一步利用自己的动手操作体会三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。

教师质疑：“这只是用我们通过动手操作观察到的，看到的一定是真的吗？为了说明这个结论的正确性，我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．”引入新课。

这节课我们来学习探索三角形中的线段垂直平分线定理．

上述活动中，教师画出三角形的三边的垂直平分线，让学生亲自体验和观察结论的正确性。

2. 新课探究

（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。

MAEOPBNCFQ我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示．

通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．”

虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢? 师生共析，完成证明

（2）讨论结束后，教师书写证明过程。注意几何符号语言的规范性。

已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，OP，OP．

求证：O点在AC的垂直平分线上．

证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，

∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．

同理OB=OC．

AOBC

∴OA=OC．

∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．

∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O．

进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?”

（交点O到三角形三个顶点的距离相等．）

（3）多媒体演示我们得出的结论：

定理

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

【设计意图】：这个定理的证明是本节课的难点，证明方法以前也没有遇到过，所以给学生仔细演示，先确定两条边的垂直平分线必交于一点，在引导学生思考交点在第三条线上，这样学生也进一步理解了线段的垂直平分线定理及逆定理。

3.小组合作

小组内分工，分别作锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，观察它们的交点分别在什么位置？小组同学通过作图、观察、讨论，得出结论：

锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内；

直角三角形三边垂直平分线的交点在三角形斜边的中点上；

钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外。

【设计意图】：此活动的目的是近一步让学生熟悉尺规作图，了解三角形三边垂直平分线的交点不一定在三角形内，其次，培养学生的合作意识，观察能力。

4.动手操作

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?

(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?

(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。

由学生思考可得：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图：

已知：三角形的一条边a和这边上的高h 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h AhBaDCBahDC( )AAhBaCDA1

A1A1

从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，连接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．（见几何画板课件）

(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．

另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．”

（3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．

（5）例题学习

已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．

已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h 作法：1．作BC=a；

MABDNC

2．作线段b的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4．连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．

【设计意图】：此三个问题是相辅相成的，第一个问题，高的长度知道，位置不确定，三角形就不确定；第二个问题，高的位置确定，长度不知道，三角形就不确定；第三个问题高的长度和位置都确定，三角形就唯一确定，锻炼学生的思维能力。

5.思维拓展

（1）例题：已知直线l和l上一点

P，用尺规作

l 的垂线，使它经过点

P. 学生小组内讨论，然后交流：说出做法并解释作图的理由。

（2）拓展1：如果点

P 是直线

l 外一点，那么怎样用尺规作

l 的垂线，使它经过点

P 呢？这个问题比第一个难度要大，学生充分讨论，并与同伴交流，说出做法及理由。

（3）拓展2：如何利用尺规找一条线段的中点？有了刚才的基础，这道题是比较好理解的，学生很容易得到答案。

【设计意图】：这是线段垂直平分线的应用，对学生来说难度比较大，所以先采用小组讨论，让学生充分思考，在作图。让学生充分理解线段垂直平分线既可以作高，也可以找中点。

6.课时小结

以提问的形式让学生总结本节课的内容。

本节课通过推理证明了“三角形三条边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等”的结论，并能根据此结论尺规作图“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”，还能利用做线段垂直平分线的方法做高和找线段的中点。

【设计意图】：让学生对本节课的知识有一个总体认知，，并形成知识体系，同时也让学生学会总结知识的方法。

7.课后作业

必做

习题1.8

第1、2题

选做

习题1.8

第4题

【设计意图】：作业分为必做和选做，让每个学生能够在能力范围内独立完成作业，有所发展。

六、教学反思

本节课证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等．学会了已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形。从尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。不足的地方，学生对三点共线的证明方法理解的好不到位。