直角坐标系中图形的平移与坐标的变化教学实录及点评

华章文化

第三章

图形的平移与旋转

3．1

图形的平移

第1课时

平移的认识

新教案word版

1．通过具体实例理解平移的概念，掌握平移的基本性质(重点)．

2．通过观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，体会平移来源于生活．

自学指导：阅读教材P65～66内容，完成下列问题．

知识探究

1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫平移．平移不改变图形的形状和大小，改变的是位置．

2．平移的性质：(1)平移前后的两个图形大小、形状一样；

(2)经过平移，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．

自学反馈

1．下列现象中，属于平移的是(1)(3)(5)．

(1)火车在笔直的铁轨上行驶；(2)冷水受热过程中小气泡上升变成大气泡；(3)人随电梯上升；(4)钟摆的摆动；(5)飞机起飞前在直线跑道上滑动．

2．如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，则线段CD、AB关系是平行且相等．

活动1

小组讨论

例1

如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，作出平移后的三角形．

解：如图，过点B、C分别作线段BE、CF，使得它们与线段AD平行并且相等，连接DE，DF，EF，则△DEF就是△ABC平移后的图形．

设顶点B、C分别平移到了点E、F，根据“经过平移，对应点所连的线段平行且相等”，可知线段BE、CF与AD平行且相等．

例2

如图，点A，B，C，D分别平移到了点E，F，G，H；点A与点E，点B与点F，点C与点G，点D与点H分别是一对对应点，AB与EF是一对对应线段，∠BAD与∠FEH是一对对应角．

(1)在下图中，线段AE、BF、CG、DH有怎样的位置关系？

(2)在下面图中，有哪些相等的线段、相等的角？

(3)由(1)(2)两个问题，你能归纳出什么结论？

解：(1)四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，由演示可知：线段AE、BF、CG、DH是互相平行的，并且这四条线段又相等．

(2)图中相等的线段：AB＝EF、BC＝FG、CD＝GH、AD＝EH、AE＝BF＝CG＝DH.

图中相等的角：∠ABC＝∠EFG、∠BAD＝∠FEH、∠ADC＝∠EHG、∠BCD＝∠FGH.

www.sjhzhb.com

华章文化

新教案word版

(3)平移的基本性质：经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等．

这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小．

活动2

跟踪训练

如图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH.

填空：

(1)CD＝GH；

(2)∠F＝∠B；

(3)HE＝DA；

(4)∠D＝∠H．

活动3

课堂小结

1．通过本节课的学习，我们明白了什么叫平移．(在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．) 2．总结出了平移的性质．(平移不改变图形的形状和大小．经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平

行且相等，对应角相等．)

第2课时

沿x轴或y轴方向平移的坐标变化

探究横向或纵向平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系．(重点)

自学指导：阅读教材P68～69内容，完成下列问题．

知识探究

在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴正(负)方向平移a(a＞0)个单位长度后的图形与原图形相比，对应点的横坐标加上(减去)a，纵坐标不变；图形沿y轴正(负)方向平移a(a＞0)个单位长度后的图形与原图形相比，对应点的横坐标不变，纵坐标加上(减去)a．

自学反馈

1．如图，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个长度单位，那么平移后对应的点A′的坐标是(C)

A．(－2，－3)

B．(－2，6)

C．(1，3)

D．(－2，1) 2．将点M(－1，－5)向左平移3个单位长度得到点N，则点N所处的象限是(C) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

活动1

小组讨论

例1

在平面直角坐标系中，点A(－2，3)平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A(C) A．向右平移2个单位长度

B．向左平移2个单位长度

www.sjhzhb.com

华章文化

新教案word版

C．向右平移4个单位长度

D．向左平移4个单位长度

解析：关于y轴成轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，∴点A(－2，3)平移后的坐标为(2，3)．∵横坐标增大，∴点A是向右平移得到，平移距离为|2－(－2)|＝4.故选C. 例2

点P(－2，1)向下平移2个单位长度后，关于x轴对称的点P′的坐标为(C) A．(－2，－1)

B．(2，－1) C．(－2，1)

D．(2，1)

沿x轴或y轴方向平移的坐标变化可简记为“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”．

活动2

跟踪训练

1．将△ABC的各顶点的横坐标分别加上3，纵坐标不变，连接所得三点组成的三角形是由△ABC(B) A．向左平移3个单位长度得到的

B．向右平移3个单位长度得到的

C．向上平移3个单位长度得到的

D．向下平移3个单位长度得到的

2．将点P(2m＋3，m－2)向上平移1个单位长度得到P′，且P′在x轴上，则m＝1．

3．线段AB是由线段CD平移得到，点A(－2，1)的对应点为C(1，1)，则点B(3，2)的对应点D的坐标是(6，2)．

活动3

课堂小结

1．图形沿x轴平移的坐标变化：在平面直角坐标系中，如果把图形中点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着x轴向右(或向左)平移a个单位长度．

2．图形沿y轴平移的坐标变化：在平面直角坐标系中，如果把图形中点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着y轴向上(或向下)平移a个单位长度．

第3课时

沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化

探究一次平移既有横向又有纵向时坐标的变化特点．(重点)

自学指导：阅读教材P71～73内容，完成下列问题．

知识探究

一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．

自学反馈

1．将点A(3，2)沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标是(D) A．(1，2)

B．(1，－2) C．(－1，2)

D．(－1，－2) 2．在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度后，得到的点位于(D) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

活动1

小组讨论

例

如图所示，四边形ABCD各顶点的坐标为A(－3，5)，B(－4，3)，C(－1，1)，D(－1，4)，将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A′B′C′D′.

(1)四边形A′B′C′D′与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A′，B′，C′，D′的坐标；

(2)如果将四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．

www.sjhzhb.com

华章文化

新教案word版

解：(1)四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别增加了3，A′(1，8)，B′(0，6)，C′(3，4)，D′(3，7)．

(2)连接AA′，由图可知，AA′＝32＋42＝5，四边形A′B′C′D′可认为是由四边形ABCD沿着由A到A′的方向，平移5个单位长度得到的．

一个图形一次沿x轴方向，y轴方向平移后所得的图形，可以看成是由原来图形经过一次平移得到的．

活动2

跟踪训练

1．如果将平面直角坐标系中的点P(a－3，b＋2)平移到点(a，b)的位置，那么下列平移方法中正确的是(C) A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度

B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度

C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度

D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度

2．在平面直角坐标系中，将点(3，－1)向下平移3个单位长度，可以得到对应点(3，－4)；将得到的点向右平移2个单位长度，可以得到对应点(5，－4)．

3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2，3)，B(－4，－1)，C(2，0)，将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，且点A1的坐标为(3，1)，请分别写出点B1，C1的坐标．

解：B1(1，－3)，C1(7，－2)．

活动3

课堂小结

学生试述：这节课你学到了些什么？

3．2

图形的旋转

第1课时

旋转的认识

掌握旋转、旋转中心和旋转角的概念，并理解旋转的性质．(重点)

自学指导：阅读教材P75～76内容，完成下列问题．

知识探究

1．在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．旋转不改变图形的形状和大小．

2．一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所组成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．

自学反馈

1．下面生活中的实例，不是旋转的是(A) A．传送带传送货物

B．螺旋桨的运动

C．风车风轮的运动

D．自行车车轮的运动

2．线段MN绕点P进行旋转后，得到线段M1N1，则点M与点P距离＝点M1与点P的距离．(填“＞”“＜”或“＝”)

活动1

小组讨论

例1

如图，点A，B，C，D都在方格纸的点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(C) www.sjhzhb.com

华章文化

新教案word版

A．30°

B．45°

C．90°

D．135°

对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋转角．由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以旋转角∠BOD＝90°. 例2

如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．

(1)旋转中心是哪一点？

(2)旋转了多少度？

(3)AF的长度是多少？

解：(1)旋转中心是A点．

(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点．又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°.

(3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝42＋12＝17.∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，∴AF＝AE＝17.

正确的理解旋转的定义和性质．

活动2

跟踪训练

如图，已知P是等边△ABC内的一点，连接AP，BP，将△ABP旋转后能与△CBP′重合，根据图形回答：

(1)旋转中心是哪一点？

(2)旋转角是几度？

(3)连接PP′后，△BPP′是什么三角形？

解：(1)∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝60°.

又∵将△ABP旋转后能与△CBP′重合，

∴AB与CB重合．

∴旋转中心是点B.

(2)∵将△ABP绕点B顺时针旋转后能与△CBP′重合，

∴旋转角等于∠ABC＝60°.

(3)△BPP′是等边三角形．理由如下：

∵旋转角为60°，

即∠PBP′＝60°，BP＝BP′，

∴△BPP′是等边三角形．

活动3

课堂小结

1．旋转的概念：将一个图形绕一个顶点按照某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．

2．旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中www.sjhzhb.com

华章文化

新教案word版

心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等．

第2课时

旋转作图

能画出简单图形旋转后的对应图形．(重点)

自学指导：阅读教材P78～79内容，完成下列问题．

知识探究

旋转作图的步骤：

(1)确定旋转中心，旋转方向，旋转角；

(2)找出图形的关键点；

(3)作出关键点经旋转后的对应点；

(4)按图形的顺序连接对应点，得到旋转后的图形．

自学反馈

1．如图，将左边叶片图案旋转180°后，得到的图形是(D)

2．把如图所示的图形绕着O点顺时针旋转90°后，得到的图形是(C)

活动1

小组讨论

例

如图，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．

解：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX＝60°；

(2)在射线AX上取点C，使得AC＝AB.

线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．

解决这类作图题，紧扣旋转的特征即可．

活动2

跟踪训练

1．对如图所示的图形，下列说法错误的是(C) A．图1绕点“O”顺时针旋转270°到图4 B．图1绕点“O”逆时针旋转180°到图3 C．图3绕点“O”顺时针旋转90°到图2 D．图4绕点“O”顺时针旋转90°到图1

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′A′的坐标是(C) A．(1，4)

B．(4，1)

C．(4，－1)

D．(2，3) www.sjhzhb.com

则点

，

华章文化

新教案word版

3．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1，请用直尺和圆规作出旋转中心O.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图所示，点O为所作．

4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′.

解：如图所示，△A′BC′即为所求．

活动3

课堂小结

根据旋转的性质，掌握旋转作图的步骤．

3．3

中心对称

1．理解中心对称、对称中心、中心对称图形等概念，能识别中心对称图形．(重点) 2．通过作图探索成中心对称的两个图形的性质．(重点) 3．能运用中心对称的性质作出一个图形关于某点对称的图形，并确定对称中心的位置．(重点)

自学指导：阅读教材P81～82内容，完成下列问题．

知识探究

1．如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．

2．成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．

3．把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．

自学反馈

1．下列手机软件图标中，属于中心对称图形的是(D) www.sjhzhb.com

华章文化

新教案word版

2．关于中心对称的两个图形中，对应线段的关系是(D) A．相等

B．平行

C．相等且平行

D．相等且平行或相等且在同一直线上

活动1

小组讨论

例1

如图，在中心对称的两个图形中，对称点A，A′和对称中心O在一直线上，并且AO＝OA′，另外分别在一直线上的三点还有B，O，B′和C，O，C′，并且BO＝B′O，CO＝C′O．

在成中心对称的两个图形中，连接对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．也就是：

(1)对称中心在任意两个对称点的连线上．

(2)对称中心到一对对称点的距离相等．

根据这个，可以找到关于中心对称的两个图形的对称中心，通常只需连接中心对称图形上的一对对应点，所得线段的中点就是对称中心，同时在证明线段相等时也有应用．

例2

如图，四边形ABCD和点O，画出四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于点O成中心对称．

解：(1)连接AO并延长AO到A′，使OA′＝OA，于是得到点A的对称点A′.

(2)同样画出点B、点C和点D的对称点B′，C′和D′.

(3)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.

四边形A′B′C′D′即为所求的四边形．

活动2

跟踪训练

1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(B)

2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称，则AD＝EF，∠ABC＝∠FGH．

3．如图，已知六边形ABCDEF是以点O为对称中心的中心对称图形，画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．

解：作法如下：

www.sjhzhb.com

华章文化

新教案word版

图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD对应线段是AF. 4．下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？

解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形．

活动3

课堂小结

1．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心．

2．识别中心对称的方法：如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形

一定关于这一点成中心对称.

3.4

简单的图案设计

1．能利用平移、旋转或轴对称以及它们的组合解决一些简单的图案设计问题，并会利用它们分析图案．(重点) 2．通过观察、交流、创作，培养学生的动手操作能力和创新能力．(难点)

自学指导：阅读教材P85的内容，完成下列问题．

自学反馈

1．平移、旋转、对称的联系：都是平面内的变换，都不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置．

2．如图所示的图案由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其他方式吗？

解：可以．

归纳：图形的平移、旋转、对称是图形变换中最基本的三种变换方式．

活动1

小组讨论

例

欣赏图中的图案，并分析这个图案形成的过程．

解：图中的图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”(形状、大小完全相同)．

在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到的；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角为120°，旋转中心为“爬虫”头上、腿上或脚趾上一点．

活动2

跟踪训练

1．国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到(D) A．轴对称

B．平移

www.sjhzhb.com

华章文化

新教案word版

C．旋转

D．平移和旋转

2．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是(C)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

3．广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和旋转等．

活动3

课堂小结

充分运用平移、旋转或轴对称，按照所要表达的意思，对基本图案进行操作，设计出相应图案．

www.sjhzhb.com