5.2 平行线及其判定  课堂实录【3】

知识与技能

理解并掌握邻补角及对顶角的概念．

过程与方法

1．通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力、推理能力和有条理地表达的能力．

2．在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角，理解对顶角相等，并能运用它解决一些简单问题．

情感、态度与价值观

引导学生对图形观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心．

重点

对顶角的性质．

难点

理解对对顶角相等的性质的探索．

一、创设情境，导入新课

教师出示一块布和一把剪刀，表演剪布过程．

问题：剪刀两个把手之间的角发生了什么变化？剪刀张开的口又怎么变化？

教师展示剪布的过程．

学生认真观察．

教师应当注意先提出问题，以免在过程中分散学生的注意力，使学生没有注意应该观察的内容．

学生观察以后，回答提出的问题．

教师引导：如果将剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题．

【教学说明】通过动手操作，激发学生兴趣，同时使学生感受生活中的数学现象．

通过教师的引导，使学生将剪刀抽象成两条直线，将实际问题转化为数学问题．

二、合作交流，探究新知

探究1：邻补角与对顶角的概念

1．观察图片，注意剪刀剪开布片过程中有关角的变化．

2．将剪刀抽象为几何图形并画一画．

答：如图：

几何语言描述图形：直线AB，CD相交于点O. 概念：如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线的交点．

3．观察上图，同桌讨论．

(1)两条直线相交组成几个角？

(2)这两条直线相交得到哪几对角？

(3)每对角中两个角的位置有怎样的关系？

(4)根据它们的位置和度数的关系将这几对角进行分类．

两直线相交

所形成的角

∠1

∠2

∠3

∠4

分类

∠1和∠2

∠2和∠3

∠1和∠4

∠3和∠4

∠1和∠3

∠2和∠4

4.概念归纳

(1)∠1与∠3是直线AB，CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．

(2)∠1与∠2是直线AB，CD相交得到的，有公共顶点O，且有一条公共边，像这样的两个角叫做邻补角．

5．概念深化

(1)找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？

(2)找一找上图中还有没有邻补角，如果有，是哪两个角？

学生口答：∠2和∠4也是对顶角．∠3与∠2、∠1与∠4、∠3与∠4也互为邻补角．

探究2：对顶角的性质与推导

问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？

1．动手操作，推出性质．

已知，直线AB与CD相交于O点(如图)，试猜想∠1、∠3的大小关系，并借助量角器或其他方式验证你的想法．

答：∠1＝∠3.

思考：你能用说理的方法推出∠1＝∠3吗？

解：∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补(邻补角定义)，

∴∠1＝∠3(同角的补角相等)．

或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2(邻补角定义)，

∴∠1＝∠3(等量代换)．

教师提醒：∠1与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的，所以括号内不填已知，而填邻补角定义．

2．性质归纳：对顶角相等．

三、运用新知，深化理解

例1

下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是(

) A

B

C

D

【分析】观察∠1与∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两边是∠2的两边的反向延长线．故选C. 【方法总结】判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．

例2 如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是______．

【分析】根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线．∠1和∠2、∠1和∠4都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角．故答案为∠2和∠4.

【方法总结】邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补．但需要注意的是：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角．

例3 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．

【分析】根据对顶角的性质，可得∠AOC与∠BOD的关系，根据OA平分∠COE，可得∠COE与∠AOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案．

解：由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝84°.由邻补角的性质得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.

【方法总结】解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．

1例4 如图，直线AC，EF相交于点O，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE＝2∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度数．

【分析】因为已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设∠BOE＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x，然后根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程．

解：设∠BOE＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x.∵∠AOB与∠BOC互为邻补角，∴∠AOB＝180°133－3x.∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝∠AOB＝90°－x.∵∠DOE＝72°，∴90°－x＋x＝22272°，解得x＝36°.∴∠AOF＝2x＝72°. 【方法总结】在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补．若已知关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P3练习．

2．《探究在线·高效课堂》相关作业．

五、反思小结，梳理新知

本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？(小组交流，互助解决) 六、布置作业

1．《探究在线·高效课堂》相关作业．

2．教材P7～8习题5.1第1，2题．