8.1 二元一次方程组 教案评析

第八章

二元一次方程组

8．1

二元一次方程组

01

教学目标

1．了解二元一次方程(组)及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系．

2．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

02

预习反馈

阅读教材第88至89页，完成下列预习内容．

1．(1)含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

(2)方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．

(3)一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

(4)一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

(5)二元一次方程有无穷多个解；二元一次方程组有且只有一组解．

2．下列哪些是二元一次方程？为什么？

(1)x2＋y＝20;

(2)2x＋5＝10;

(3)2a＋3b＝1;

(4)x2＋2x＋1＝0;

(5)2x＋y＋z＝1. 解：(3)是二元一次方程．

【点拨】

判定二元一次方程的标准有两点：①方程含有两个未知数；②含有未知数的项的次数都是1. 3．下列哪些是二元一次方程组？为什么？

3x－2y＝9，x－3y＋9z＝8，

(1)

(2)

y＋5x＝0；y＋3z＝5；x＝2，xy＋y＝5，(3)

(4)

x＋y＝1；x－y＝4.解：(1)(3)是二元一次方程组．

【点拨】

方程组(3)也是二元一次方程组．只要两个一次方程合起来共有两个未知数，那么他们就组成一个二元一次方程组．

x＝2，4．方程kx＋3y＝5有一组解是求k的值．

y＝1，解：k＝1.

03

名校讲坛

例1

我们古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？试找出问题的解．

【解答】

设有x只鸡，y只兔，根据题意，得

头

足

鸡

x 2x

兔

y 4y

合计

35 94

由鸡和兔的头的总和为35，足的总和为94，可得到关于x，y的两个方程为：

x＋y＝35，2x＋4y＝94. 观察上面两个方程，它们有何共同特征？

(1)含有2个未知数．

(2)含未知数的项的次数都是1. 总结：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

【点拨】

(1)“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；(2)方程的左、右两边都是整式．

上面的问题中，包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x＋y＝35和2x＋4y＝94.把

x＋y＝35，这两个方程合在一起，写成组成了一个方程组．

2x＋4y＝94，总结：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．

【跟踪训练1】

下列方程组中，是二元一次方程组的是(B) x＋3y＝105m＋n＝－1A.

B.

2x＋z＝－14m＋n＝－32a＋b＝0C.

ab＝－1

3t＋s＝1

D.1

－s＝11t例2

我们来看例1中的方程x＋y＝35，满足这个方程，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中.

x

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13

1415 …

343332

31

30

28272625242322212029…

【解答】

由上表可知，x＝1，y＝34；x＝2，y＝33；…；使方程x＋y＝35两边的值相等，它们都是方程x＋y＝35的解．

总结：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

【点拨】

一般地，一个二元一次方程有无数个解．如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么可能有有限个解．

我们还发现，x＝23，y＝12既满足例1中的x＋y＝35，又满足2x＋4y＝94，也就是说，x＝23，y＝12是这两个方x＋y＝35，x＝23程的公共解．我们把x＝23，y＝12叫做二元一次方程组的解，这个解通常记作．

2x＋4y＝94y＝12总结：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

x＝1，【跟踪训练2】

解为的方程组是(D) y＝2x－y＝1A.

3x＋y＝5x－y＝－1

B.

3x＋y＝－5

x－y＝3x－2y＝－3C.

D.

3x－y＝13x＋y＝5

04

巩固训练

1．下列属于二元一次方程组的是(A) xy3513＋5＝4x＋y＝4y＝2x－2x＋y＝5A.

B.

C.22

D.

x＋y＝0x－y＝0x－y＝0xy＝13x－2y＝5，2．方程组的解是(B) 5x＋4y＝1x＝x＝1x＝1A.

B.

C.1

D.3y＝1y＝－1y＝2

x＝21

y＝－2

3．(1)填表，使上下每对x，y的值是方程x＋y＝7的解. x y x y

－2 9 －2 12

0 7 0 9

6 2

5 2

4 3 4 3

2 5 3

2

5 (2)填表，使上下每对x，y的值是方程3x＋2y＝18的解. (3)早晨妈妈让小明买早餐，若小明买一个大饼和一根油条共7元，若买3个大饼和2根油条共18元，求买一个大饼和一根油条各多少元？列出方程组，并根据(1)(2)表格找出方程组的解．

x＋y＝7，解：设一个大饼x元，一根油条y元，由题意，得

3x＋2y＝18.x＝4，根据表格(1)(2)可得，方程组的解为

y＝3.05

课堂小结

1．二元一次方程组及其解的概念是怎样的？

2．如何检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解？

8.2

消元——解二元一次方程组

第1课时

用代入消元法解二元一次方程组

01

教学目标

1．会用代入消元法解二元一次方程组．

2．初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”．

02

预习反馈

阅读教材第91至93页，完成下列预习内容．

1．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．

7＋3y5x－72．方程5x－3y＝7，变形可得x＝，y＝．

53y＝x－3，①3．解方程组应消去y，把①代入②．

2x＋3y＝6.②x＝14．方程y＝2x－3和方程3x＋2y＝1的公共解是．

y＝－1新课导入

1．把x＋y＝20写成y＝20－x，叫做用含x的式子表示y的形式．写成x＝20－y，叫做用含y的式子表示x的形式．

试一试：

(1)用含x的式子表示y：x＋y＝22.(y＝22－x) 8＋7y(2)用含y的式子表示x：2x－7y＝8.(x＝) 22．问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队想在全部22场比赛中得到40分，这个队胜、负场数分别是多少？

方法一：可列一元一次方程来解．

解：设这个队胜了x场，则负了(22－x)场，由题意，得

2x＋(22－x)＝40.(答略)

方法二：可列二元一次方程组来解．

解：设这个队胜了x场，负了y场，由题意，得

x＋y＝22，

(答略) 2x＋y＝40.这里所用的是将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法——消元思想．具体是由x＋y＝22，得y＝22－x，再把y＝22－x代入2x＋y＝40，得2x＋(22－x)＝40，这样就消掉了一个未知数y，把原来的二元一次方程组就化为了我们熟悉的一元一次方程．

【点拨】

(1)由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法．

(2)代入消元法的关键是用含一个未知数的式子表示另一未知数．

03

名校讲坛

2x＋3y＝16，①例1

(教材变式例题)用代入法解方程组：



x＋4y＝13.②【解答】

由②，得x＝13－4y.③

把③代入①，得2(13－4y)＋3y＝16. 解得y＝2. 把y＝2代入③，得x＝5. x＝5，∴原方程组的解是

y＝2.【方法归纳】

用代入消元法解二元一次方程组的步骤：

(1)方程变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来．

(2)代入消元：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

(3)方程求解：解出一元一次方程的解，再将其代入到原方程或变形后的方程中求出另一个未知数的解，最后得出方程组的解．

(4)口算检验．

2x－y＝3，【跟踪训练1】

用代入法解方程组：

3x＋4y＝10.x＝2，解：

y＝1.例2

(教材P92例2)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？

两种产品的销售数量比为2∶5，即销售的大瓶数目与小瓶数目的比为2∶5.这里的数目以瓶为单位．

【分析】

问题中包含两个条件：

大瓶数∶小瓶数＝2∶5，

大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量．

【解答】

设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶．

根据题意，得

5x＝2y，①

500x＋250y＝22 500 000.②5

由①，得y＝x.③

25把③代入②，得500x＋250×x＝22 500 000. 2

解得x＝20 000. 把x＝20 000代入③，得y＝50 000. 答：这个工厂一天应生产20 000大瓶和50 000小瓶消毒液．

总结：上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

【点拨】

这个框图以用代入法解一个具体的二元一次方程组的过程为例，展示了代入法的解题步骤，以及各步骤的作用．它可以作为代入法解二元一次方程组的一般步骤的典型．

【跟踪训练2】

某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2 000件．已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件．求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水为1__200、800件．

04

巩固训练

2x＋3y＝8，①1．用代入法解方程组有以下过程，其中错误的一步是(C) 3x－5y＝5.②8－3y(1)由①，得x＝

③；

28－3y(2)把③代入②，得3×－5y＝5；

2(3)去分母，得24－9y－10y＝5；

(4)解得y＝1，再由③，得x＝2.5. A．(1)

B．(2)

C．(3)

D．(4)

3x＋2y＝6，x＝22．二元一次方程组的解是．

y＝x－2y＝01－－3．已知xa1y3与－3xby2ab是同类项，那么a＝2，b＝1．

24．用代入法解下列方程组：

3x＋4y＝19，①y＝2x，①(1)

(2)

x－y＝4.②3x－y＋2＝0.②x＝5，x＝－2，解：

解：

y＝1.y＝－4.05

课堂小结

用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的？代入消元中应注意哪些问题？

第2课时

用加减消元法解二元一次方程组

01

教学目标

1．会用加减消元法解二元一次方程组．

2．了解解二元一次方程组时的“消元思想”和“化未知为已知”的化归思想．

02

预习反馈

阅读教材第94至97页，完成下列预习内容．

1．当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能

消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

x＋3y＝17，2．已知方程组两个方程只要两边分别相加，就可以消去未知数y．

2x－3y＝6.25x－7y＝16，3．已知方程组两个方程只要两边分别相减，就可以消去未知数x．

25x＋6y＝10.新课导入

x＋y＝22，①1．我们知道，对于方程组可以用代入消元法求解．

2x＋y＝40，②问题：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？

解决：上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得(2x＋y)－(x＋y)＝40－22，即x＝18，把x＝18代入①，得y＝4.另外，由①－②也能消去未知数y，得(x＋y)－(2x＋y)＝22－40.即－x＝－18，x＝18，把x＝18代入①，得y＝4. 3x＋7y＝9，①2．想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组

4x－7y＝5.②分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值．

解：由①＋②，得7x＝14，解得x＝2. 3把x＝2代入①，得y＝. 7x＝2，∴这个方程组的解为3

y＝7.03

名校讲坛

2x＋3y＝12，①例1

(教材P95例3变式)用加减法解方程组：



3x＋4y＝17.②【思路点拨】

对于当方程组中两个方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．

【解答】

①×3，得6x＋9y＝36.③

②×2，得6x＋8y＝34.④

③－④，得y＝2. 把y＝2代入①，得x＝3. x＝3，所以原方程组的解是

y＝2.3x－2y＝8，①【跟踪训练1】

用加减法解方程组：

y＋4x＝7.②x＝2，解：

y＝－1.例2

(教材P95例4)2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割同时工作5小时共收割小麦8 hm2公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

问题1：题目中存在的等量关系：

(1)2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷；

(2)3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．

问题2：若设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1小时共收割小麦1.8hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1小时共收割小麦1.6hm2. 2x＋5y＝1.8问题3：根据题目中的等量关系，可列方程组为：

．

3x＋2y＝1.6x＝0.4问题4：解上面的方程组，解为.

y＝0.2【跟踪训练2】

(《名校课堂》8.2第2课时习题)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米．

解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米，由题意，得

5x＋2y＝64，x＝8，解得

3x＋y＝36，y＝12.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．

04

巩固训练

6x＋7y＝－19，①1．用加减法解方程组应用(B) 6x－5y＝17②A．①－②消去y

B．①－②消去x

C．②－①消去常数

D．以上都不对

3x＋2y＝13，2．方程组消去y后所得的方程是(B) 3x－2y＝5A．6x＝8

B．6x＝18

C．6x＝5

D．x＝18 3．若2a－b＝5，a－2b＝4，则a，b的值分别为2，－1．

4．用加减法解下列方程组：

8x＋5y＝11，①3x＋4y＝10，①(1)

(2)

4y－3x＝－10.②4x－3y＝5.②x＝2，x＝2，解：

解：

y＝－1.y＝1.05

课堂小结

用加减消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的？加减消元中应注意哪些问题？

8.3

实际问题与二元一次方程组

第1课时

利用二元一次方程组解决简单的实际问题

01

教学目标

1．会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实生活的联系．

2．体会列方程组比列一元一次方程容易，培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力．

02

预习反馈

阅读教材第99至100页，完成预习内容．

x＋y＝3491．八年级(3)班共有学生349人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少4人，则列出方程组为．

y＝2x－4

2．买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，8x＋6y＝250设买甲种水x桶，乙种水y桶，则列出方程组为．

y＝75%x3．小明对小亮说：“我比你大8岁．”小亮却说：“我的年龄的两倍比你大3岁．”求小明和小亮的年龄．

解：设小明的年龄为x，小亮的年龄为y.根据题意，得

x＝y＋8，x＝19，

解得

2y－x＝3.y＝11.答：小明和小亮的年龄分别为19岁，11岁．

03

名校讲坛

例

(教材P99探究1)养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？

问题：(1)题中有哪些已知量？哪些未知量？

(2)题中等量关系有哪些？

(3)如何解这个应用题？

本题的等量关系是：(1)30只头大和15头小牛一天需用饲料为675 kg；(2)(30＋12)头大牛和(15＋5)头小牛一天需用饲料为940 kg. 【解答】

设平均每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为x kg和y kg.根据题意，得

30x＋15y＝675，①x＝20，解得

42x＋20y＝940.②y＝5.答：每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20 kg和5 kg，饲料员李大叔估计每头大牛1天需用饲料18～20千克正确，而估计每头小牛1天需用7～8千克与计算有一定的出入．

总结：列二元一次方程组解应用题有以下几个步骤：

(1)审：找出已知量、未知量和相等关系；

(2)设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

(3)列：依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；

(4)解：解方程组，得到方程组的解；

(5)验：检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解；

(6)答：写出答案．

【跟踪训练】

(《名校课堂》8.3第1课时习题)被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km.求隧道累计长度与桥梁累计长度．

解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，根据题意，得

x＋y＝342，x＝126，解得

2x＝y＋36.y＝216.答：隧道累计长度为126 km，桥梁累计长度为216 km.

04

巩固训练

1．某校去年有学生1 000名，今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名？设去年有寄宿学生x名，走读学生y名，则可列出的方程组为x＋y＝1 000．

（1＋6%）x＋（1－2%）y＝1 000×（1＋4.4%）2．某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使生产的产品正好配套？

解：设x人生产镜片，y人生产镜架．由题意，得

x＋y＝60，x＝20，解得

200x＝2×50y，y＝40.答：20人生产镜片，40人生产镜架，才能使每天生产的产品正好配套．

05

课堂小结

第2课时

利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题

01

教学目标

1．让学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．

2．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力．

02

预习反馈

阅读教材第100至101页，完成下列预习内容．

1．两个车间，按计划每月共生产微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120%，第二车间完成计划的115%，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？设两车间上x＋y＝798个月各生产微型电机x台和y台，列方程组为．

x÷120%＋y÷115%＝6802．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个大的长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是45__cm、15__cm．

03

名校讲坛

例

(教材P100探究3)如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

分析：销售款＝产品数量×8 000，

原料费＝原料数量×1 000. 总运费＝公路运费＋铁路运费

【解答】

设产品重x吨，原料重y吨．根据题意，得

1.5×（20x＋10y）＝15 000，x＝300，

解得

1.2×（110x＋120y）＝97 200.y＝400.8 000x－(1 000y＋15 000＋97 200)＝1 887 800. 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．

【跟踪训练】

小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：

第一次购物

购买商品A的

数量(个)

6

购买商品B的

数量(个) 5

购买总费用

(元) 1 140

第二次购物

第三次购物

3 9

7

8

1 110 1 062

(1)小明以折扣价购买商品是第三次购物；

(2)求商品A，B的标价；

(3)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？

解：

(2)设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元．根据题意，得

6x＋5y＝1 140，x＝90，解得

3x＋7y＝1 110，y＝120.答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．

(3)设商店是打m折出售这两种商品，由题意，得

m(9×90＋8×120)×＝1 062，解得m＝6. 10答：商店是打6折出售这两种商品的．

04

巩固训练

1．从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路，如果骑自行车保持平路每小时行15 km，上坡路每小时行10 km，下坡路每小时行18 km，那么从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟，从甲地到乙地全程是6.5km. 2．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．

(1)求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？

(2)若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5 300名学生就餐？请说明理由．

解：(1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名，y名学生就餐，列方程组，得

x＋2y＝1 680，x＝960，解得

2x＋y＝2 280.y＝360.答：1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名，360名学生就餐．

(2)能．理由：因为5×960＋2×360＝5 520>5 300. 所以，若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5 300名学生就餐．

3．某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元，若制成酸奶销售，每吨可获利润1 200元，若制成奶片销售，每吨可获利润2 000元．该厂生产能力如下：每天可加工3吨酸奶或1吨奶片，受人员的限制，两种方式不能同时进行．受季节的限制，这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕，为此该厂制定了两套方案：

方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售现牛奶．

方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．

(1)你认为哪种方案获利最多，为什么？

(2)本题解出之后，你还能提出哪些问题？

解：(1)方案一：生产奶片4天，共制成4吨奶片，获利2 000×4＝8 000(元)．

其余5吨直接销售，获利500×5＝2 500(元)．

∴共获利8 000＋2 500＝10 500(元)．

方案二：设生产奶片用x天，生产酸奶用y天．列方程组，得

x＋y＝4，x＝1.5，解得

x＋3y＝9.y＝2.5.∴共获利：1.5×1×2 000＋2.5×3×1 200＝12 000(元)．

也可设x吨鲜奶制成奶片，y吨鲜奶制成酸奶．列方程组，得

x＋y＝9，x＝1.5，xy解得

y＝7.5.＋＝4.13

∴共获利：1.5×2 000＋7.5×1 200＝12 000(元) 答：第二种方案获利多．

(2)略．

05

课堂小结

用二元一次方程组解决实际问题的步骤是怎样的？如何快速准确寻找题目中的等量关系？

*8.4

三元一次方程组的解法

01

教学目标

1．理解三元一次方程组的概念．

2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．

02

预习反馈

阅读教材第103至105页，完成预习内容．

x＋y＋z＝12，①解方程组：x＋2y＋5z＝22，②

x＝4y.③解：解法一：把③分别代入①②，得

4y＋y＋z＝12，y＝2，解得

4y＋2y＋5z＝22.z＝2.把y＝2代入③，得x＝8. x＝8，因此，三元一次方程组的解为y＝2，

z＝2.解法二：①×5－②，得4x＋3y＝38.④

把③代入④，得y＝2. ∴x＝8. 把x＝8，y＝2代入①，得z＝2. x＝8，因此，三元一次方程组的解为y＝2，

z＝2.新课导入

小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张．

(1)题目中有几个未知数，你如何去设？

(2)根据题意你能找到等量关系吗？

(3)根据等量关系你能列出方程组吗？

解：(1)设1元，2元，5元纸币分别为x张，y张，z张．(共三个未知数) (2)三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．

(3)上述三种条件都要满足，因此可得方程组

x＋y＋z＝12，①x＋2y＋5z＝22，②

x＝4y.③总结：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

问题：怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次

方程组或一元一次方程呢？

5y＋z＝12【点拨】

可以把③分别代入①②，便消去了x，得到只包含y和z的二元一次方程组：．

6y＋5z＝22x＝8解此二元一次方程组得出y，z，进而代回原方程组可求x，解得y＝2．

z＝203

名校讲坛

3x＋4z＝7，①例1

(教材P104例1)解三元一次方程组：2x＋3y＋z＝9，②

5x－9y＋7z＝8.③【分析】

方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．

【解答】

②×3＋③，得11x＋10z＝35.④

3x＋4z＝7，x＝5，①与④组成方程组解得

11x＋10z＝35.z＝－2.1把x＝5，z＝－2代入②，得y＝. 3x＝5，1因此，三元一次方程组的解为

y＝3，

z＝－2.问题：你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较．

【点拨】

此方程组的特点是①中不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．反之用代入法运算较繁琐．

总结：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的．即：

三元一次方程组――→二元一次方程组――→一元一次方程

x＋z－3＝0，①【跟踪训练1】

(《名校课堂》8.4习题)解三元一次方程组：2x－y＋2z＝2，②

x－y－z＝－3.③解：②－③，得x＋3z＝5.④

x＝2，解由①，④组成的方程组，得

z＝1.x＝2，将代入③，得y＝4. z＝1消元消元x＝2，∴原方程组的解为y＝4，

z＝1.例2

(教材P105例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，求a，b，c的值．

分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．

a－b＋c＝0，①【解答】

由题意，得三元一次方程组4a＋2b＋c＝3，②

25a＋5b＋c＝60.③②－①，得a＋b＝1.④

③－①，得4a＋b＝10.⑤

a＋b＝1，④与⑤组成二元一次方程组

4a＋b＝10.a＝3，解得

b＝－2.把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5. a＝3，因此b＝－2，

c＝－5.即a，b，c的值分别为3，－2，－5. ＋＋－【跟踪训练2】

已知2ay5b3xyczx与－4a2xb5cy是同类项，则x－y＋z的值为4．

04

巩固训练

1．解下列三元一次方程组：

3x－y＋z＝10，3x－y＋2z＝3，(1)x＋2y－z＝6，

(2)2x＋y－3z＝11，

x＋y＋2z＝17.x＋y＋z＝12.x＝3，x＝3，解：y＝4，

解：y＝8，

z＝5.z＝1.2．张大伯养了鸡、鸭、鹅三种家禽，所养鸡和鸭的只数之和比鹅的只数多19只，养鸭和鹅共20只，养鸡和鹅共23只，请你算一算张大伯养鸡、鸭、鹅各多少只？

解：设张大伯养鸡x只、鸭y只、鹅z只，根据题意，得

x＋y＝z＋19，x＝15，y＋z＝20，解得y＝12，

x＋z＝23.z＝8.答：张大伯养鸡15只、鸭12只、鹅8只．

05

课堂小结

解三元一次方程组的方法有几种？思路是怎样的？