8.2 消元——二元一次方程组的解法教学实录

邯郸市第二十五中学校本课例

学

科：

数学

备课组：

七年级数学组

设计人员：

胡震

填表日期：

2019年3月28日

邯郸市第二十五中学教科研处

填表说明

校本课例是通过教研组（备课组）共同拟定教学设计方案、说明教学意图和教学策略，相互观察课堂教学的过程，授课教师与其他教师（教研组、科研处）对课例的讨论与评价等环节完成的。

1、“课堂教学设计”（表一）是某节课或某些课的教学设计方案（教学预期）；要写出教学目标、教学重点和难点、教学辅助手段的选用、教学课堂程序设计等方面内容。可采用循序渐进式、板块并列式、线索交替式等形式写课堂程序。要求：①要有较强的操作性。②理清教学思路。要划分教学环节、确定环节概念、阐释环节意义。③设计从学生的角度来想问题，关注学生的知识背景和经验，研究个别差异。

2、“课堂实录”（表二）是实际教学场景（教学生成）；学生学习状况及分析主要反映学生在课堂学习中的行为与表现。在课堂设计时，教师预设学生学习活动过程，预计学生在活动过程中可能生成的问题。而学生学习状况要体现师生互动的动态过程，在关注过程中理性的分析师、生的行为。

3、“教学反思”（表三）描述了“教学预期”的实现程度，也就是对教学的评价。包括成功之举、“败笔”之处、教学机智、学生见解、再教设计等方面。另外，要明确的问题指向：学科问题、教学法问题、认知水平问题、情感态度问题与教学情境问题等。

如：本课遇到了哪些教学问题，我在教学设计中是如何预设的？问题是如何发生，产生了哪些教学冲突？教学场景是怎样的？教学设计与实际进程的矛盾是什么，如何有效解决这些问题？

4、校本课例评审标准及计分（表四）说明

（1）教学目标

①符合课标要求和学生实际的程度包括知识、能力、情感态度与价值观等方面与学生的心理特征和认知水平相适应，关注学生的差异。

②可操作的程度: 教学目标明确、具体。

（2）学习条件

①学习环境的创设:有利于学生身心健康,有利于教学目标的实现。

②学习资源的处理: 学习内容的选择和处理科学, 学习活动所需要的相关材料充足, 选择恰当的教学手段。

（3）学习指导与教学调控。

①学习指导的范围和有效程度: 为大多数学生提供平等参与的机会, 对学生的学习活动进行有针对性的指导, 根据学习方式创设恰当的问题情景, 及时采用积极、多样的评价方式,教师的语言准确，有激励性和启发性。

②教学过程调控的有效程度: 能够根据反馈信息对教学进程、难度进行适当调整, 合理处理临时出现的各种情况。

（4）学生活动

①学生参与活动的态度: 对问题情景关注, 参与活动积极主动。

②学生参与活动的广度: 学生参与学习活动的人数较多, 学生参与学习活动的方式多样, 学生参与学习活动的时间适度。

③学生参与活动的深度: 能提出有意义的问题或能发表个人见解, 能按要求正确操作, 能够倾听、协作、分享。

（5）课堂气氛

①课堂气氛的宽松度: 学生的人格受到尊重, 学生的讨论和回答问题得到鼓励, 学生的质疑问难得到鼓励, 学习进程张弛有度。

②课堂气氛的融洽度：课堂气氛活跃、有序，师生、生生交流平等、积极。

（6）教学效果

①目标的达成度：基本实现教学目标，多数学生能完成学习任务，每个学生都有不同程度的收获。

②解决问题的灵活性：有些学生能灵活解决教学任务中的问题。

③师生的精神状态：教师情绪饱满、热情，学生体验到学习和成功的愉悦，学生有进一步学习的愿望。

2

表一

课堂教学设计

教材知识

教学目标：

1、知识与技能：掌握用加减法解二元一次方程组。 2、过程与方法：使学生理解加减法消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。

3、情感态度与价值观：体验学习数学的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心。

教学重、难点：

重点：用加减法解二元一次方程组。

难点：学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组。

一、情景引入

同学们上节课我们学习了什么内容？用代入法解二元一次方程组，那么解二元一次方程组的基本思想是消元思想，化二元为一元。把二元一次方程组转换为一元一次方程进行求解。

我们知道数学是服务与生活，生活中很多实际问题的解决离不开数学，接下来，我们看一道王阿姨在水果时遇到的一个难题。

王阿姨：老板，苹果和橘子多少钱一斤？

老板：买2斤苹果和3斤橘子需要11元，而且买2斤苹果比4斤橘子贵4元。

那你能根据老板的回答帮助王阿姨算出苹果和橘子的单价吗？

二、探究新知

探究新知1.加减法消元

教师板书：1.加减法消元：二元一次方程组 一元一次方程

2.步骤：变形

加减

求解

回代

写解

练习题1：直接用加减法解二元一次方程组

课题

8.2.2加减消元法

所在教材位置

七年级数学下册

第八章P94 2x3y11①2x4y4②

变式2x3y11①

2x4y4②练习题2：用加减法解二元一次方程组

（1）x2y3①3x8y13② （2）2x3y6①3x2y2②

三、例题讲解：

例1

用加减法解方程四、总结提升

1、本节课我们研究了什么内容？

2、当方程组具备什么条件时，可以直接是用加减法求解？

3 3x4y16①5x6y33②

3.当方程组不能用加减法消元时，怎么做？

注：此表为一个完整的教学设计，可以附表。

表二

课堂实录

学生在课堂学习过程中行为与表现

教学过程： 一情景引入

师：我们首先回忆下我们上节课学习什么内容呢？

教师分析

通过复习回顾代入法解

生：用代入法解二元一次方程组。

二元一次方程组，让学生感知师：那么解二元一次方程组的基本思想是什么？

知识的衔接性，从而顺利的过度到加减法的学习。

生：消元思想，化二元为一元。

师：对，通过消元把二元一次方程组转化为一元一次方程进行求解。那还有 没有消元方法呢？这节课我们继续研究解二元一次方程组。我们知道数学是服务

以实际问题引入让学生与生活，生活中很多实际问题的解决离不开数学，接下来，我们看一道王阿姨在感知到数学与生活密切相关，以此激发学生的学习兴趣。

水果时遇到的一个难题。

王阿姨：老板，苹果和橘子多少钱一斤？

老板：买2斤苹果和3斤橘子需要11元，而且买2斤苹果比4斤橘子贵4元。

那你能根据老板的回答帮助王阿姨算出苹果和橘子的单价吗？

生：能。

师：怎么解决？现在同学们动手算。谁算出来了？用的什么方法？

生：根据题意列出二元一次方程组。然后求解方程组，得到苹果和橘子的单

价。

师：怎么列？

2x3y11①

生：设一斤苹果x元，一斤橘子y元。得出2x4y4②

师：好，现在求解这个方程组，就可以求出苹果和橘子的单价了。现在同学

们动手解一下这个方程组。谁来说一下你的求解方法？

113y113y生：用的代入法。由得x，把代入得：24y4

22让学生自己动手解二元x4一次方程组，可以复习下代入解得：

y1 ，把y1代入到得：x4，所以这个方程组的解为y1

法消元，也可以使学生想到加减消元法。

二探究新知

探究新知1：加减法消元

师：好，这位同学用代入法消元求解出方程组的解，现在我们观察这个方程

组，有没有其他的消元方法呢？

生：可以用-。



4

生：x

师：为什么能消元x？

生：方程组中x的系数相同都是2.

师：那么这两个方程如何相减？依据是什么？

通过提问使学生明白为生：依据是等式的性质，两个方程相减-，就是用的左边减去的左边，什么加减法可以消元。便于多用的右边减去的右边。

数同学的掌握。

师：-得：7y7，解得：。解出了y的值，如何求解x呢？

生：把y1代入到求解。

师：代入到可以么？

生：可以

师：不妨代入到得：2x31

解得：x4，最后把方程组的解用大括

x4

号括起来，所以这个方程组的解是y1。我们来看ppt上规范过程，回想下

为什么用-两个方程相减消去x呢？

生：x的系数相等。

师：因此当遇到方程组中同一个未知数系数相等时，我们可以将两个方程相

对比代入法和加减法的减消去这个未知数，这就是我们要学习的加减消元法。那现在同学对比下这个用简便性，使学生理解学习加减代入法和用加减法消元，那个简单？

法的必要性。

生：加减法消元

师：刚才用-消去x，那可以用-消去x，-得：7y7，那

它和7y7那个更容易求解？

生：7y7

师：在学习一元一次方程时，当遇到系数化为一时，我们更希望未知数的系

数是正的。因此在遇到两个方程相减时，我们一般选择用系数大的减去系数小的。

2x3y11①师：那我们看这个方程组2x4y4②如何消元？谁有办法？

生：把+消去x。

师：为什么能消去x？

生：x的系数互为相反数

师：那么+就是用的左边加上的左边，用的右边加上的右边。这

样就得到了+得：y15，解得：y15，往下怎么做？

生：把y15代入得：2x3(15)11解得：x28

x28师：所以这个方程组的解是y15，我们来回想下，为什么用+能消

师：那么你消去的是那个未知数？ 

5

去x？

生：x的系数互为相反数

师：通过这两个方程组的求解过程，我们发现，当方程组中同一未知数的系

数相等时，我们可以把两个方程直接相加消去这个未知数，当方程组中同一未知

数的系数相反时，我们可以把两个方程直接相减消去这个未知数，这就是加减消

元法，简称加减法。认识加减消元法的定义后，我们通过以上两个方程组的求解

过程思考下直接使用加减法消元的一般步骤有哪些？

生：第一步是加减，往下是求解，回代，写解

师：还有一步也很关键，是在草稿纸上完成的，检验。根据定义我们想一想，

当方程组具备什么条件时，可以直接使用加减消元？

生：方程组中同一未知数的系数相等或相反。

师：那我们看这两个方程组具备这个条件么？

练习1直接用加减法解下列方程组。 习题的设置，保证讲练结合。

x3y3①2x7y16①

（1）2x3y6② （2）2x6y10②

生：具备。

师：现在动手解一下这两个方程组，找两位同学上来做，其他同学在练习本

上完成。做完了吗？做完的同学请举手示意。现在我们一起来看一下黑板上这两

位同学的求解。全做对的举手。我们再来想一想，方程组满足什么要求时，可以

直接使用加减法消元。

生：方程组中同一未知数的系数相等或相反。

三

例题讲解

师：那你看这两个方程满足这一要求吗？

3x4y16①

例1 用加减法解方程组5x6y33②

生：不满足。

师：那怎么办才能使用加减法？

循循渐进，由简入繁，便生：把乘以5，把乘以3. 于学生掌握。

师：目的是什么？

生：使x得系数相等。

师：事实上，为了使x得系数相等，你找的是3和5的什么？

生：3和5的最小公倍数15。

y师：那要是想消去的话，怎么办？

生：找4和6的最小公倍数12. 师：下面我们先来探究如何消去x。



6

生：①3，得9x12y48③，

师：这一步的依据是什么？

生：等式的性质

师：接下来是②2，得10x12y66④，③④，得8x48，解得x6 师：如何求y？把x代入到那个方程？

生：或者

师：为什么不考虑③和④？

生：③和④是由和乘以一个数得到的，数更大，计算更麻烦。

师：不妨把x6代入①，得364y16，解得：y1，所以这个方2x6程组的解是1。熟悉了消去y的求解过程后，下面谁能试着说一下，如何y2消去x？

生：①5，得15x20y80③

1，解得y

②3，得15x18y99④，2把y1代入①，得

3x216，解得：x6

2师：这个方程组告诉我们，当方程组不存在系数相等或相反的同一未知数时，我们可以通过寻找未知数系数的最小公倍数，把两个方程转化为系数相等或相反。现在我们对比消去x和消去y的求解过程，你认为那种方法更简单？

生：消去y，最小公倍数较小。计算量较小。

师：那在选择消去未知数时，你要提醒大家注意些什么？

生：优先选择变形消去最小公倍数较小的未知数。 师：既然用加减法时用到了最小公倍数，那现在我任意说出两个数，你能快速答出它们的最小公倍数吗？

2和3、3和4、4和6、2和5、2和8‘ 生：6、12、12、10、8 师：同学们要牢牢掌握两个数的最小公倍数。我们知道直接加减法消元的步骤有加减、求解、回代、写解。那现在我们观察这个方程组的求解过程，思考不能直接使用加减法时，一般步骤有那些呢？

生：变形、加减、求解、回代、写解。

四

巩固训练

7

师：现在我们看这两个方程组。

用加减法解二元一次方程组

（1）x2y3①3x8y13② （2）2x3y6①3x2y2②

师：现在动手解一下这两个方程组，找两位同学上来做，其他同学在练习本上完成。做完了吗？做完的同学请举手示意。现在我们一起来看一下黑板上这两位同学的求解。全做对的举手。

五

课堂总结

师：现在我们回顾下本节课我们研究了什么内容？

生：加减法消元解二元一次方程组。

师：当方程组具备什么条件时，可以直接是用加减法求解？

生：方程组中同一未知数的系数相等或相反。

师：当方程组不能用加减法消元时，怎么做？

生：当方程组不存在系数相等或相反的同一未知数时

通过寻找未知数系数的最小公倍数，把两个方程转化为系数相等或相反。

8

表三

课后反思

1、分析“教”与“学”中存在的问题；2、提出解决问题的方法；3、写出教学中的困惑或收获。

9

“教”与“学”中存在的问题：

（1）引入稍微拖沓，应该简洁明了，问题的设置针对性不明确；

（2）在课堂中，关注学生不够，放手让学生独立完成时应该指出大家共同存在问题的地方；

（3）板书上应该示范例题的做题步骤，起到老师的示范作用；

（4）给学生的思考时间少；

解决方法：

在今后的教学过程中，问题设置应该更具有针对性，要多关注学生，关注学生的实际表现与反应，并且及时掌握学生的认知程度，及时把学生的问题反馈给学生。语速放慢，语调要有着重点，给学生时间思考；要做好备课、备学生，备学生可能会有的反应以及课上出现的问题。

收获：

通过这次会诊课，让我意识到自己的发展空间很大，认识到自己要改正的地方很多，作为一名新老师，经验不足，会导致在课堂上出现一些问题，这时候要有较强的应变能力。而有时候只顾讲课往往会忽略学生，所以要加大对学生的关注程度。深刻体会到备课和真正的课堂不同之处，但是自己不能够很好地处理，所以以后要继续多听课，多向老教师请教，争取让自己得到更大的提升和最快的进步。

表四 校本课例评审标准及计分

评课人姓名： 科目： 课题名称：

10

评价等级

评价项目

评价要点

A

B

C

D

⑴符合课标的要求和学生实际的程度 教学目标

⑵可操作的程度

⑶学习环境的创设

学习条件

⑷学习资源的处理 学习指导

⑸学习指导的范围和有效程度 与教学调控

⑹教学过程调控的有效程度

⑺学生参与活动的态度

学生活动

⑻学生参与活动的广度 ⑼学生参与活动的深度

⑽课堂气氛的宽松度 课堂气氛

⑾课堂气氛的融洽度

⑿目标的达成度 教学效果

⒀解决问题的灵活性

⒁师生的精神状态

⑴

⑵

学科特色

⑶

⑷

其他

A 评价等级

B C D 表五

课堂设计和应用成果评审意见：

11

教研员意见

教研员签字：

年

月

日

教科研处意见

教科研处主任签字：

年

月

日

12