一元一次不等式与一次函数图象的关系公开课教案

一元一次不等式与一次函数的关系

一．教学目标：

1.知识目标：①理解一次函数与一元一次不等式的关系。会根据一次函数图像解决一元一次不等式解决问题。

②学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局部问题。

2.能力目标：经历不等式与函数问题的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。

3.情感目标：增强学生学数学，用数学，探索数学奥妙的愿望，体验成功的感觉，品尝成功的喜悦。

二、重难点分析：

本节内容的教学重点是一次函数与一次不等式的关系的理解，因为用函数观点认识有关一次不等式的主要目的是加强知识间的联系，学习用变化和对应的眼光分析问题，所以要从函数与不等式间的关系入手，最终把问题解决。难点是利用一次函数图像确定一元一次不等式的解集。

教学过程

一、复习回顾

1．一次函数的定义。

2．一次函数的图象。

3．直线y=kx+b与方程的联系。

那么一元一次不等式与一次函数是怎样的关系呢？本节课研究一元一次不等式与一次函数的关系。

教师活动：引导学生回顾一次函数相关概念以及一次函数与方程的关系。

设计意图：回顾所学知识作好新知识的衔接。

二、导探激励

问题1：

我们来看下面两个问题有什么关系？

１．解不等式5x+6>3x+10．

２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？

教师活动：引导学生分别从数和形两个角度理解这两个问题的关系，归纳出一般形式结论。由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x?在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系，实质上是同一个问题．

由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，?求自变量相应的取值范围．

问题2：作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题：

（1）

x取何值时，2x-5=0？

（2）

x取哪些值时, 2x-5>0？

（3）

x取哪些值时, 2x-5<0? （4）

x取哪些值时, 2x-5>3? 教师活动：展示问题1，适当时间后请学生解答并说明理由，教师借助课件作结论性评判。

设计意图：问题2可以直接解不等式（或方程）求解，但这里意图是让学生通过直接图象得到。引导学生体会既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者互相渗透，互相作用。

学生可以用不同方法解答，教师意图是尽量用图象求解。

问题3：用画函数图象的方法解不等式

5x+4<2x+10 设计意图：

通过这一活动使学生熟悉一元一次不等式与一次函数值大于或小于0时，?自变量取值范围的问题间关系，并寻求出解决这一问题的具体方法，灵活运用．

教师活动：

引导学生通过画图、观察、寻求答案，并能通过两种不同解法，得到同一答案，探索思考总结归纳出其中的共同点．

学生活动：

在教师指导下，顺利完成作图，观察求出答案，并能归纳总结出其特点．

活动过程及结论：

方法一：原不等式可以化为3x-6<0，画出直线y=3x-6的图象，可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方．即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为：x<2．

方法二：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10可以看出，它们交点的横坐标为2．当x>2时，对于同一个x，直线y=5x+4?上的点在直线y=2x+10上的相应点的下方，这时5x+4<2x+10，?所以不等式的解集为：x<2．

以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低．

从上面两种解法可以看出，虽然像上面那样用一次函数图象来解不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数．一元一次不等式之间的联系，能直观地看出怎样用图形来表示不等式的解．这种函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．

三、巩固练习

１．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件？

①y=-7．

②y<2．

２．利用图象解出x：

6x-4<3x+2．

[解]１．（1）方法一：作直线y=3x+8的图象．从图象上看出：y=-7?时对应的自变量x取值为-5，即当x=-5时，y=-7．

方法二：要使y=-7即3x+8=-7，它可变形为3x+15=0．作直线y=3x+15的图象，?从图上可看出它与x轴交点横坐标为-5，即x=-5时，3x+15=0．所以x=-5时，y=-7．

（2）方法一：画出y=3x+8的图象，从图象上可以看出当x<-2时，?对应的函数值都小于2．所以自变量x的取值范围是x<-2．

方法二：要使y<2即3x+8<2，它可变形为3x+6<0，作出直线y=3x+6?的图象可以看出它与x轴交点横坐标为-2，只有当x<-2时对应的函数值才小于0．?所以自变量x的取值范围是x<-2．

２．方法一：6x-4<3x+2可变形为：3x-6<0．作出直线y=3x-6的图象．?从图象上可看出：当x<2时，这条直线上的点都在x轴下方，即y<0，3x-6<0．所以，6x-?4<3x+2的解为x<2．

方法二：作出直线y=6x-4与直线y=3x+2，它们的交点横坐标为2，?从图象上可以看出当x<2时，直线y=6x-4在直线y=3x+2的下方，即6x+4<3x+2．所以，6x-4<3x+2的解为x<2．

四．随堂练习

１．求当自变量x取值范围为什么时，函数y=2x+6的值满足以下条件？

①y=0；

②y>0．

２．利用图象解不等式5x-1>2x+5．

五．课时小结

本节我们学会了用一次函数图象来解一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观看到怎样用图形来表示不等式的解，对我们以后学习很重要．

六．课后作业

习题14．3─3、4、7题。

七．教学反思。

函数与方程、不等式在初中数学教学中有重要地位,函数是初中数学教学的重点和难点之一。方程、不等式与函数综合题,历年来是中考热点之一,主要采用以函数为主线,将函数图象、性质和方程及不等式的相关知识进行综合运用,渗透数形结合的思

想方法。

本节课的成功之处：

1、结构严谨,环环相扣,层现清晰

本节课用五个环节组织教学。环节一是知识的回顾,这部分复习了函数、方程、不等式的基础知识,引入部分简单过渡,激发兴趣,为后面作铺垫。环节二的问题是有

关一次函数,一元一次方程和一元一次不等式的联系与区别。环节三的问题是一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的相互转化，这两个环节的两个问题是

姐妹题，加强了学生对一次函数图象的认识以及通过观察函数图象得出变量的范围，渗透数形结合的思想，同时由环节二的一次函数与一元一次方程过渡到环节三的

一次函数与一元一次不等式,由浅入深地把函数、方程、不等式三者联系起来。然后过渡到本节课的难点即环节四：一次函数图象的灵活应用。环节四是实际问题的

应用及其变式训练，这一环节的训练，旨在拓展深化，发展学生智能，让学生学会用函数与方程的思想来解决实际问题，通过对实际问题的分析，寻找出变量之间的

函数关系，并能利用函数的图象和性质求出实际问题的答案。体会函数模型是解决实际问题的一种重要的数学模型，便于获得解决问题的经验。养成积极探索的学习

态度，感受数学的应用价值，培养学数学用数学的观念，这也是本节课的知识点的拓展与提升。最后环节五的总结提高部分由学生讨论归纳，对整节课的内容进行回

顾整理，让每一部分的内容重新清晰呈现。五个环节紧密

联系，层层递进，环环相扣，清晰明了地突破重难点。

2、体现学生的主体地位，把课堂还给学生

在教学的过程中,学生是教学的主体,所以发挥学生的主动性相当的重要。本节课是在学生第一轮复习了函数、方程、不等式有关知识的基础上教学的,是学生学习的

又一次综合与扩展。如何引导学生进一步研究解决函数、方程、不等式之间的联系与区别及三者相结合的综合题,是我设计本堂课时应特别注意的。我设计的教学方

法是讲练结合，学生练习用了20-22分钟,学生小组讨论3-4分钟，老师大概讲了12-15分钟,引导。提问个别学生分析问题及回答问题约8-10分

钟,整节课以学生的练习为主，留充分的时间和空间给学生思考。教师精讲多练,且能讲在关键处，注重引导学生分析问题并解决问题，师生互动较多，教学方式灵

活多样，充分调动了学生学习的积极性。整节课充分体现了新课标的教学理念:教师为主导、学生为主体,把课堂还给学生。

3、及时小结,及时反馈

课堂教学是一个有序的教学过程，教材知识的内在逻辑顺序和学生认知结构发展的顺序决定了教学过程必须是一个循序渐进、环环相扣的过程。因此，对于每一环节的

教学，我都能恰到好处进行点评、反馈及小结，总结该环节用到的知识点及其解决问题的方法与技巧，对教学目标中的思想内容、能力要求、知识要点进行简明扼要

的梳理概括,这样既可概括前一个问题的主要内容，有助于学生理解、掌握,又能巧妙地引出后一个问题

的讲解。起到承前启后的作用，使知识有机衔接起来，形成

一个有序的整体,既可使整堂课的教学内容系统化,增强学生的整体印象，又可以促使学生的思维不断深化，诱发继续学习的积极性。

4、课件精美,提高效率

本课节主要是以PPT载体，中间穿插了几何画板，直观、形象、动态地展现知识的形成过程，刺激学生的感官，启发学生思维。通过课件，充分体现了数形结合，出

了本节课的重点：方程或不等式的解实质就是函数值y取特殊值时对应自变量x的取值。从而使题目化难为简。另外对于一些重要地方用批注形式加以解释，引起学

生的有意注意，让学生更容易理解、印象更深刻，大大提高了课堂教学的有效性。

5、小组讨论,突破难点

本节课的最亮点是环

节四的变式练习的处理,我采用的方法是让学生通过小组讨论找出本题与问题3在解答上的异同,并要求学生把不同之处用另一颜色笔在问题3的求解过程的基础上

改动,然后引导学生(个别提问)分析讲解，老师再用课件演示加以点评。学生通过此变式训练能发现对所得的函数结合自变量的取值范围及结合图像才能求得最

值,学生更深刻地体会了数形结合的数学思想。数学课堂上也显示出情感态度价值，用集体的智慧突破本节课的难点，学生有了成功的喜悦。

本节课的不足之处：

环节三的巩固练习的反馈，因受时间限制，我采用课件演示讲解。如果用实物投影让学生自己讲自己的答案，教师更深入一点点评，教学效果会更好。