24.1 圆特级教师教学实录

垂径定理（第一课时）教学设计

【教学目标】

1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；

③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。

2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；

②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；

②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

【教学重点】垂径定理及其应用。

【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。

【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。

【教学设计】

一、实例导入，激疑引趣

1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4C米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，

¹-¸ß也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的

ABD⌒

半径（即AB所在圆的半径）是多少？

¡û¡ú¿ç ¶È通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。

（图1）

二、尝试诱导，发现定理

1．复习过渡：

①如图2(a)，弦AB将⊙O分成几部分？各部分的名称是什么？

②如图2(b)，将弦AB变成直径，⊙O被分成的两部分各叫什么？

③在图2(b)中，若将⊙O沿直径AB对折，两部分是否重合？

CCOAOABAOBAOBE

B

CADOB

(a)

(b)

(a)

(b)

(c)

（图2）

（图3）

2．实验验证：

让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。

3．运动变换：

①如图3(a)，AB、CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？

②如图3(b)，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？

③如图3(c)，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？

4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——

AEBD⌒

⌒

（板书）

ACBC

CD弦AB,垂足为E⌒

⌒

ADBDCD是圆O的直径5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。

三、引导探究，证明定理

1．引导证明：

猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。

①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。

②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。

2．归纳定理：

根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．巩固定理：

在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。

C

ACC

OOE

BEOEABAABDDOEB

(a)AB⊥CD于E

(b)E是AB中点

(c)OC⊥AB于E

(d)OE⊥AB于E （图4）

向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。

四、例题示范，变式练习

1．运用定理进行计算。

〖例1〗如图5，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作

辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。

AEOB

解：（略）学生口述，教师板书。

（图5）

〖变式一〗在图5中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=

。

C思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，

AE

则R、a、d三者之间的关系式是

。

O〖变式二〗如图6，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E，

若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径=

。

（图6）

思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）

2．运用定理进行证明

〖例2〗已知：如图7，在以O为圆心的两个同心圆中，

大圆的弦AB交小圆于C、D两点。

ACDBOB

求证：AC＝BD。

（图7）

分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？

（证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC）

②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）

证法一：连结OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。

证法二：过点O作OE⊥AB于E，用“垂径定理”证明。（详见课本P77例2）

注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。

注2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。

思考：在图7中，若AC=2，AB=10，则圆环的面积是

。

〖变式一〗若将图7中的大圆隐去，还需什么条件，

才能保证AC=BD？

〖变式二〗若将图7中的小圆隐去，还需什么条件，

才能保证AC=BD？

〖变式三〗将图7变成图8（三个同心圆），你可以

证明哪些线段相等？

（图8）

EACODBF

〖例3〗（选讲）如图9，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

AC＝3，BC＝62，以C为圆心、CA长为半径画弧，交

斜边AB于D，求AD的长。（答案：2）

CDA略解：过点C作CE⊥AB于E，先用勾股定理求得

（图9）

BAB=9，再用面积法求得CE=22，最后用勾股定理求得AE=1，由垂径定理得AD=2。

五、师生小结，纳入系统

1．定理的三种基本图形——如图10、11、12。

a2．计算中三个量的关系——如图13，R2d2()2。

23．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。

C

OAOEBBBDD（图10）

（图11）

（图12）

（图13）

六、达标检测，反馈效果

AEOBAEORdAa

1．（课本P78练习第1题）如图14，在⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为

，∠AOB＝

度。

2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，

使它以点A为中点（如图15）。

AOBOA3．课本P78练习第2题。

（图14）

（图15）

课

堂

练

习

姓名

得分

1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为

，

∠AOB＝

度。

AOOAB

（第1题）

（第2题）

2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图）。

要求：保留作图痕迹，但不必写作法。

3．已知：如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，

OE⊥AC，垂足分别为D、E。

求证：四边形ADOE是正方形。

ADBEOC

（第3题）