等腰三角形的判定与反证法教学实录

1.等腰三角形判定(一) 一、学生知识状况分析

本节课是等腰三角形的第三课时，通过前面两课时的学习，学生已经掌握了等腰三角形的相关性质，已经熟悉了证明命题的基本要求和步骤。为学习等腰三角形的判定定理奠定了知识和方法的基础。

二、教学任务分析

本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理证明过程，体验对称变换在构图中的妙用，并运用等腰三角形的判定定理探究实际问题。因此，本节课的教学目标定为：

知识与技能目标：

1．探索等腰三角形判定定理，理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

方法与过程目标：

2.体验等腰三角形判定定理的证明的探索过程，经历运用等腰三角形的判定定理解决实际问题的过程. 情感、态度、价值观目标

3.培养学生创新思维和科学的探究精神. 三、教学过程

第一环节：创设情境导入新课

活动过程：。

教师：同学们，如图所示，这里有一个以BC为底边的等腰三角形，不小心被滴上的墨迹覆盖了，

你能“复原”这个等腰三角形吗？

（学生提出了各种“复原”办法）

B C

教师：你怎么知道“复原”的三角形就是等腰三角形呢？

引出问题：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？

板书：等腰三角形的判定(一) 效果：把数学问题和学生的生活实际联系起来，吸引学生的注意力，激发学生学习的兴趣，调动学生的思维且与本课学习的内容有实质性的联系，活跃课堂气氛。

第二环节：定理证明

活动过程与效果：

教师：如何证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”？

学生：要写出已知、求证、画出图形，并给出证明过程. 已知：在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC.

[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．

[师]你是如何想到的? [生]由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作顶角∠A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．

[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．

[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．

[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评)

B C A

教师：刚才，有学生提出作BC的中线行不通，是否真的行不通呢？

教师点拨：如图：取BC的中点D，连接AD，过D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F，引导学生证明△BDE≌△CDF,从而得BE＝CF，DE＝DF，再由勾股定理得，

AE＝AD2－DE2，AF＝AD2－DF2，故AE＝AF，

故AE＋BE＝AF＋CF，即：AB＝AC.

教师：以上几种证法，主要运用对称的思想充分奇思妙想，巧妙地构造出辅助线，从而完成证明，其实这个命题的证明，不作任何辅助线也可以完成。(激发学生的好奇心理) 教师点拨：把如图所示的三角形看成两个三角形：ABC和ACB, 在△ABC与△ACB中，

∠B＝∠C∠A＝∠A ∴△ABC≌△ACB(ASA)，



BC＝CB∴AB＝AC.

[师]我们通过探讨证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：等角对等边．T 第三环节：合作探究

活动过程与效果：运用等腰三角形的判定定理，引导学生进行探究式学习。

B C A E B D F C A

1.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB. ⑴图中的△ABC和△BOC是等腰三角形吗？说一说你的理由. ⑵过O作平行于BC的直线，分别与AB、AC交于E、F两点，图中有____个等腰三角形，线段EF与线段BE、FC之间有何数量关系是__________；

⑶若∠ABC与∠ACB不相等，其余条件保持不变，⑵中的线段EF与BE、FC之间的数量关系还成立吗？为什么？

A

AO

EOFE

C

OBC

B

B

(1)图

(2)图

(3)图

效果：①不断的改变题目的条件，可以调动学生学习的积极性；②改变题目的条件，让学生体验变化中的不变；

③这三道题，从易到难，层次明显,培养学生的科学的探究精神.

第四环节：巩固练习

已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

求证：AB=AC．

证明：∵AD∥BC，

∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，

∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

∴AB=AC(等角对等边)．

第五环节：课堂小结

（1）本节课学习了哪些内容？

B C A E 12D

（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

第六环节：作业布置

习题1.3：知识技能

第2，3，4题