一元一次不等式与一次函数图象的关系优秀教学设计

和雅课堂教案

英德市第八中学

八

年级

数学

科集体备课教案

主备人：李敬波

审核人：朱荣通

备课时间19年3月15 日

课题

2.5.1一元一次不等式与一次函数（1）

知识与技能：会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较.

过程与方法：通过一元一次不等式与一次函数的图象的结合,培养学生的数形结合意识.

教学目标

2.通过观察图象培养学生利用数学知识解决实际问题的能力.

情感态度与价值观：体验数、形是有效描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具,了解到数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.

重点

根据题意列函数关系式,并能把函数关系式与一元一次不难点

教学方法

课时安排

等式联系起来.

探究法、讲解法

1课时

教学

过

程

导入一: 【问题】

(1)解一元一次不等式的步骤是什么? (2)解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来: ①2x-5≥3x+4;

②10-4(x-3)≤2(x-1).

1

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(3)什么是一次函数?一次函数有什么性质?怎样作一次函数的图象? [设计意图]

通过复习已学知识,为引入这一节新课做好准备,同时让学生体会一元一次不等式与一次函数之间存在一定的联系.

上一节我们类比一元一次方程的解法,根据不等式的基本性质,学习了一元一次不等式的解法,并利用一元一次不等式解决了一些实际问题.本节课我们来学习一元一次不等式的其他解法.

一、一元一次不等式与一次函数之间的关系

思路一

函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:

(1)x取何值时,2x-5=0? (2)x取哪些值时,2x-5>0? (3)x取哪些值时,2x-5<0? (4)x取哪些值时,2x-5>1?

问题分析: (1)当y=0时,2x-5=0,解得x=.

所以当x=时,2x-5=0.

(2)使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件.当y=0时,有2x-5=0,解得x=,当x>时,图象位于x轴的上方,即y>0,因此当x>时,2x-5>0.

(3)同理可知,当x<时,2x-5<0.

(4)使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点(0,1)作一2

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条直线平行于x轴,这条直线上方的图象上任一点对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3时,2x-5>1.

[设计意图]

通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.

思路二

生:如y=2x-5为一次函数.

师:在一次函数y=2x-5中,当y=0时,有方程2x-5=0;当y>0时,有不等式2x-5>0;当y<0时,有不等式2x-5<0.由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切联系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于某个值时即为不等式.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.

函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:

(1)x取何值时,2x-5=0? (2)x取哪些值时,2x-5>0? (3)x取哪些值时,2x-5<0? (4)x取哪些值时,2x-5>1? 问题分析: (1)当y=0时,2x-5=0,解得x=.

所以当x=时,2x-5=0.

(2)使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件,当y=0时,有3

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2x-5=0,解得x=,当x>时,图象位于x轴的上方,即y>0.因此当x>时,2x-5>0.

(3)同理可知,当x<时,2x-5<0.

(4)使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点(0,1)作一条直线平行于x轴,这条直线上方的图象上的任一点所对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3时,2x-5>1.

[设计意图]

通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.

二、例题讲解

(补充例题)如果y=-2x-5,那么当x取哪些值时,y>0? 解:首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图所示:

从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧,由-2x-5=0,得x=-2.5,所以当x<-2.5时,y>0.

(教材做一做)兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题: (1)何时弟弟跑在哥哥前面? (2)何时哥哥跑在弟弟前面? (3)谁先跑过20 m?谁先跑过100 m? 解:设哥哥跑的时间为x秒,哥哥跑过的路程为y1 m,弟弟跑过的路程为y2 m, 4

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根据题意,得y1=4x,y2=3x+9, 画出函数图象如图所示:

由图象可知: (1)当0

(2)当x>9时,哥哥跑在弟弟前面.

(3)弟弟先跑过20 m,哥哥先跑过100 m.

[设计意图]

感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.

3、课堂小结

本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系,并且能根据一次函数的图象求解不等式.

4检测反馈

1.一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则一元一次不等式2x-4≤0的解集为

(

) A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2 解析:根据一次函数的图象可以求出不等式2x-4≤0的解集为x≤2.故选A.

2.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每本笔记本2元,那么小明最多能买

支钢笔.

解析:设可买x支钢笔,则笔记本可买(30-x)本,由题意得5x+2(30-x)≤100,解得x5

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≤13.又x取整数,所以x可取的最大值为13.故填13.

3.对于一次函数y=-3x+12,当x为何值时: (1)y>0?

(2)y=0?

(3)y<0? 解:(1)令-3x+12>0,得x<4, 即当x<4时,一次函数y=-3x+12中的y>0.

(2)令-3x+12=0,得x=4, 即当x=4时,一次函数y=-3x+12中的y=0.

(3)令-3x+12<0,得x>4, 即当x>4时,一次函数y=-3x+12中的y<0.

4.一艘轮船以20 km/h的速度从甲港驶往160 km 远的乙港,2 h后,一艘快艇以40 km/h的速度也从甲港驶往乙港.请你分别列出轮船和快艇行驶的路程与轮船行驶的时间之间的函数关系式,并画出函数图象,观察图象回答下列问题: (1)何时轮船行驶在快艇的前面? (2)何时快艇行驶在轮船的前面? (3)哪一艘船先驶过60 km?哪一艘船先驶过100 km? 解:设轮船行驶的路程为y1 km,快艇行驶的路程为y2 km,轮船行驶的时间为x h, 则有y1=20x,y2=40(x-2).画出函数图象如图所示:

由得即两函数图象的交点为A(4,80).

观察图象可得: (1)轮船行驶4 h前,轮船行驶在快艇的前面.

(2)轮船行驶4 h后,快艇行驶在轮船的前面.

6

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(3)轮船先驶过60 km,快艇先驶过100 km.

5.(2015·武汉中考)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).

(1)求这个一次函数的解析式; (2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.

解:(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4), ∴4=k+3,∴k=1, ∴这个一次函数的解析式是y=x+3.

(2)由(1)得关于x

的不等式为x+3≤6,解得x≤3.

即关于x的不等式kx+3≤6的解集是x≤3.

6.已知y1=5+x,y2=-2x+2,当x取哪些值时,y1>y2? 解:根据题意得不等式5+x>-2x+2, 解得x>-1.即当x>-1时,y1>y2.

7.声音在空气中的传播速度(简称音速)y(m/s)与气温x(℃)之间满足关系式:y=x+331.求音速超过349 m/s时的气温满足什么条件.

解:根据题意得不等式x+331>349, 解得x>30.

即音速超过349 m/s时的气温满足x>30.

8.某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国营出租车公司的月费用为y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图所示,观察图象回答下列问题:

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(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营出租车公司的车合算? (2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同? (3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300 km,那么这个单位租哪家车合算? 解:由图象可知: (1)每月行驶的路程小于1500 km 时,租国营出租车公司的车合算.

(2)当每月行驶的路程为1500 km时,租两家车的费用相同.

(3)如果每月行驶的路程为2300 km,那么这个单位租个体车主的车合算.

5、板书设计

第1课时

一、一元一次不等式与一次函数之间的关系

二、例题讲解

6、作业布置

一、教材作业

必做题

教材第50页随堂练习.

选做题

教材第51页习题2.6的2,3,4题.

教学反思

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