习题4.1优秀公开课教案

第四章

4.1

4.1.1

基础巩固

一、选择题

1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是(

) A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10 C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100 [答案]

A [解析]

设圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝r2，把点(5,2)代入可得r2＝10，即得选A．

2．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(

) A．(－1,5)，3

C．(－1,5)，3

[答案]

B 3．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝0表示的圆形是(

) A．以(a，b)为圆心的圆

C．以(－a，－b)为圆心的圆

[答案]

D 4．点P(a,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(

) A．点在圆外

C．点在圆上

[答案]

A [解析]

因为a2＋52＝a2＋25＞24，所以点P在圆外．

5．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝1A．

2C．1

[答案]

A 1＝. 121＋3333x的距离是(

) 3B．3

2B．点在圆内

D．不确定

B．点(a，b) D．点(－a，－b) B．(1，－5)，3 D．(1，－5)，3 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10 D．(x－4)2＋(y＋1)2＝10 D．3 [解析]

先求得圆心坐标(1,0)，再依据点到直线的距离公式求得d＝6．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，此圆的标准方程为(

) A．(x－3)2＋y2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 [答案]

A B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

[解析]

由题意可知圆心坐标为(3,0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.故选A．

二、填空题

7．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是__________ ________. 25[答案]

(x－2)2＋(y＋1)2＝

2|2－1－6|5[解析]

将直线x＋y＝6化为x＋y－6＝0，圆的半径r＝＝，所以圆的方程21＋125为(x－2)2＋(y＋1)2＝. 28．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是__________ ________. [答案]

(x－2)2＋(y＋1)2＝1 [解析]

圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 三、解答题

9．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求

(1)周长最小的圆的方程；

(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．

[解析]

(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)1为圆心，半径r＝|AB|＝10.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10. 21(2)解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋33＝0 x－3y＋3＝0，x＝3，由

得

2x－y－4＝0.y＝2.

即圆心坐标是C(3,2)．

r＝|AC|＝3－12＋2＋22＝25. ∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 解法2：待定系数法

设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 1－a＋－2－b＝r，222则－1－a＋4－b＝r，2a－b－4＝0.222

a＝3，⇒b＝2，r2＝20.

∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.

[点评]

∵圆心在直线2x－y－4＝0上，故可设圆心坐标为C(x0,2x0－4)，∵A，B在圆上，∴|CA|＝|CB|可求x0，即可求得圆的方程，自己再用此思路解答一下．

10．(2015·台州高一检测) 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．

(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；

(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．

[解析]

(1)因为点M在圆上，

所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，

又由a>0，可得a＝10；

(2)由两点间距离公式可得

|PN|＝3－52＋3－62＝13，

|QN|＝5－52＋3－62＝3，

因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<13，所以3

能力提升

一、选择题

1．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则a的取值范围是(

) A．(－∞，1]

C．(2,5)

[答案]

B [解析]

点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则(2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1. 2．方程y＝9－x2表示的曲线是(

) A．一条射线

C．两条射线

[答案]

D [解析]

方程y＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)，

所以方程y＝9－x2表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方的部分，是半个圆．

3．(2015·安徽“江南十校”高三联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为(

) A．2x＋y－3＝0

C．x＋2y－3＝0

[答案]

D B．x－2y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 B．一个圆

D．半个圆

B．(－1,1) D．(1，＋∞)

1[解析]

圆心C(3,0)，kPC＝－，又点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN，∴kMNkPC＝－1，

2∴kMN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 4．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为(

) A．9

C．5

[答案]

D |3×5＋4×3－2|[解析]

圆心(5,3)到直线3x＋4y－2＝0的距离为d＝＝5.又r＝3，则M223＋4到直线的最短距离为5－3＝2. 二、填空题

5．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为__________ ________. [答案]

(x－2)2＋y2＝10 [分析]

圆心在x轴上，可设圆心坐标为(a,0)，半径长为r，写出圆C的标准方程，将A，B两点坐标代入求a，r即可得圆C的方程．

[解析]

设所求圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，

把所给两点坐标代入方程得

2225－a＋1＝ra＝2，

222，解得21－a＋3＝rr＝10B．8 D．2

所以所求圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 6．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________ __________. [答案]

x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20 [解析]

令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，

∴直线与两轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0)，以A为圆心过B的圆方程为x2＋(y－4)2＝20，

以B为圆心过A的圆方程为(x－2)2＋y2＝20. 三、解答题

7.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．

(1)求AD边所在直线的方程；

(2)求矩形ABCD外接圆的方程．

[解析]

(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3. 又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0. x－3y－6＝0，(2)由解得点A的坐标为(0，－2)．

3x＋y＋2＝0，

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)．

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又|AM|＝2－02＋0＋22＝22，

从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. 8．求圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．

b＋2＝1，[解析]

设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，由题意有a－33－a＋－2－b＝r.2222224a＋b＝0，

4a＋b＝0，化简得b＝a－5，

3－a2＋－2－b2＝r2，a＝1，解得b＝－4，r2＝8.为半径的圆．

所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22