3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计(第二课时)

§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 教学设计

教学内容：人教版《数学选修2-1》§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

课标要求：掌握空间向量的正交分解及其坐标表示

学情分析：学生学***面向量的基本定理及其运算，在前几节也学了空间向量的基本运算，对空间向量有了一定的了解和认识。现在进行空间向量基本定理的学习，可以通过类比进行学习，体验数学在结构上的和谐性。

一、

教学目标

1．知识与技能目标：了解空间向量基本定理的证明，掌握空间向量基底的概念，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

2．过程与方法目标：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。会作空间任一向量的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。

3．情感、态度与价值观目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。

二、

教学重点

运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系

三、

教学难点

空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。

四、

教学过程

1.复习引入

1)共线向量定理 2)共面向量定理 3)平面向量基本定理

设计意图：学生的学习室建立在已有认知结构上的，所以从学生已知知识出发，既可以加深对学过知识的理解，又可以为学习新知识埋下伏笔。

2.推广

请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？

学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量a、b、c不共面，则空间的任一向量p都可表示为xa+yb+zc。

师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。

教师板演证明（存在性、唯一性）

设计意图：通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想。

3.建构数学

介绍相关概念并强调

其中{a、b、c}叫做空间向量的一个基底，a、b、c都叫做基向量。

对于空间向量的基底{a、b、c}的理解，要明确：

①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；

②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；

③当x=0,则p与b、c共面 ④当x=0, y=0时，p与c共线

特别地，设e1,e2,e3为有公共起点O的两两垂直的单位向量（我们称为正交基底）

由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3

我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1，，下的坐标，记作e2e3p(x,y,z)

设计意图：弄清数学概念是学生学好数学的基础和前提，培养学生对问题的认知研究能力。

4.数学应用

例1.已知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量pab,qab构成空间的另一个基底？

练习1. ①

如果a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则a与b有什么关系？

②

判断：O，A，B，C为空间四个点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C有什么关系？

例2.M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MNO的三等分点，用向量OA,OB,OC表示OP和OQ.

MQAPCNB

练***行六面体OABC-OABC,点G是侧面BBCC的中心，且OA=a,OC=b,OO=c,用a，b，c表示下列向量：（1）OB,BA,CA (2) OG

O'C'

A'B'GOCAB练习3.如图所示，四面体ABCD，其中F，G分别是△ACD和△BCD的重心，以向量AB,AC,AD为一个基A底，求FG（用基底表示）

FBD

GE

C

设计意图：

加强对概念的理解，体会空间向量基本定理的限制条件。通过练习掌握空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示。

5.课堂小结

今天我们学习了什么内容？你有哪些收获？

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，

平面向量

基本定理

那么对于这一平面内的任意向量a,

有且只有一对实数1，2使a1e12e2

空间向量

如果三个向量a,b,c不共面， 那么对空间任一向量p，

基本定理

存在惟一的有序实数组(x,y,z)，使pxaybzc

正交分解及其坐标表示

类比的数学思想，向量从平面向空间的发展是一种继承和发展，自然、合理

6.布置作业

A 三维设计空间向量的正交分解及其坐标表示

思考：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找B 的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？

C O 氢原子，四D 到碳原子

7.教学反思

亮点：引入自然、整体的发展过渡自然，学生反应良好

不足：证明可以改用直观感知，可以利用平行四边形和平行六面体来理解分解定理