习题2.3优质课一等奖教案

直线与圆锥曲线的位置关系

教学设计

高三数学

陈新才

一、教学目标

1、知识与技能

：能根据直线与圆的方程判断其位置关系，体会用代数方法处理几何问题的思想，能用数形结合的方法处理直线与圆的有关问题。

2、过程与方法

让学生在解决数学问题的过程中，体会到数形结合，转化，类比，归纳，猜想等数学思想方法。提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3、情感态度与价值观

让学生亲身经历知识生成的过程，体验探索的乐趣，增强学习兴趣；在“数”与“形”的对立与统一中，加强辩证唯物主义思想教育。

二、重点、难点

重点：（1）掌握直线与圆的位置关系的判定方法；

（2）运用数形结合和转化的思想方法，处理直线与圆的有关问题。

难点：

“数”与“形”之间转化技巧与方法。

三、学情分析及复习策略

解析几何虽然每年花费大量时间和精力进行复习训练，但每年解析几何的得分率都不高.原因是考生在学习解析几何时有畏惧心理,认为解析几何很难,考试时不敢做,放弃解析几何大题. 针对我们学生的实际情况，我在复习时，主要是让学生熟悉一些常见题目的解答模型，为学生做题指引思路方向，克服恐惧心理，再逐步提高难度、灵活性和综合性，从而提高得分率。

四、教学过程设计

【1】、回归教材，整合要点

复习直线与圆锥曲线位置关系，弦长公式，点差法，直线设法讨论

【2】、课前练习，夯实双基

x2y2

1．若过原点的直线l与双曲线4－3＝1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是(

) A.－333333

B．(－2，2)

C.－，

，2222D.－∞，－33∪，＋∞

222．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________．

x2y23.抛物线x＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线3－3＝1相交于A，B两点，若△ABF为2等边三角形，则p＝________．

【3】、例题讲解，授人以渔

1

题型一：弦长问题

例1、（2016年新课标1 文数

第20题）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H. （I）求2OHON；（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由. t2,t). 解：（Ⅰ）由已知得M(0,t)，P(2pt2又N为M关于点P的对称点，故N(,t)，

p2t2p222ON的方程为yx，代入y2px整理得px2tx0，解得x10，x2，

ptxOH2t2,2t).所以N为OH的中点，即H2. 因此H(pONxN（Ⅱ）略

设计意图：

通过本题学生充分体会弦长与坐标的相互转化关系。

题型二：对称问题

x2y21上有不同两点关于直线l:y4xm对例2、试确定m的取值范围，使得椭圆43称．

解：法一：设AB：y1xb代入C得13x28bx16b2480

①

44124AB中点(b,b)代入l:y=4x+mbm代入①得: 13131321321313x226mx169m2480△>0m(,)

131322x12x2y12y20即y03x0

法二：设AB中点(x0,y0)，由点差法得43又(x0,y0)l,y04x0m

∴ AB中点（-m, -3m）

m29m22132131，m(∵

中点（-m, -3m）在椭圆内部

∴,)

431313设计意图：

通过本题让学生充分体会如何将对称关系转化为代数关系

题型三：面积问题

2

例3、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A (5，0)，倾斜角为4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积

yxm解

设l：y=x+m, m

(－5，0)

2



x2+(2m－4)x+m2=0

①

y4xΔ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,

m＜1,又－5＜m＜0,

∴m

(－5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2, 5m∴|MN|=42(1m)

点A到直线l的距离为d=

2∴S△=2(5+m)1m,从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤22m5m5m3)=128

3∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号

故直线l：y=x－1，△AMN的最大面积为82

总结：将面积用底（弦长）和高（点到直线的距离）表示。

题型四：向量问题

y2x21，M为上焦点，A,BC,且AM2MB，求直线AB方程。

例4、C:95解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，M（０，２）。AM2MBx12x2

易知AB斜率存在，设AB：y=kx+2. 20kykx2xxx1222295k22

(95k)x20kx250yx2251xx2x21225995k2消x2得k33满足△>0 ∴AB：yx2

33总结：将向量用坐标表示，结合x1x2，x1x2消去x1、x2

【变式训练】

已知椭圆C：x2＋2y2＝4，设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

解：设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.

2y0→→因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－x.

0又2y024y0222222222x0＋2y0＝4，所以|AB|＝(x0－t)＋(y0－2)＝(x0＋x)＋(y0－2)＝x0＋y0＋x2＋4

004－x022（4－x02）x02822＝x0＋2＋＋4＝＋22＋4(0

x02x0x028因为2＋x2≥4(0

0

3

∴|AB|≥22，|AB|min＝22. 题型五：定值定点问题：

x2y21，若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B例5、已知椭圆C：43不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解：C(2,0),

设A(x1,y1),B(x2,y2)

ykxm222

(34k2)x28mkx4(m23)0，⊿>034km0

xy2134ACBC0(x12)(x22)y1y20即27m216mk4k20mk或m2k

722当m2k时，l:yk(x2)，过C(2,0)矛盾；当mk时，l:yk(x)，过772定点(,0)

7总结：解答此类问题的基本策略有以下两种：

1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．

2、把相关几何量用曲线系里的参数表示，再证明结论与求参数无关．

x2y21，设直线xmy1与椭圆C交于P、Q两点，直线【变式训练】已知椭圆C：4A1P与A2Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条

定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

33333x,直线A2Q：yx3,A1P：y解：取m0,得P，直线

1,,Q1,26322交点为S14,3.

11183取m1,得P,,Q0,1，

A1P

yx,

A2Q

yx1,交点为S24,1.

63255∴若交点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。

以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线:x4上。A1P：

y1yyyy①

x2,A2Q：y2x2,消去y,得1x22x2…

x12x22x12x22以下用分析法证明x4时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明证3y1my21y2my13,即证2my1y23y1y2.………………

②

6y12y2,即x12x226m6m0,

m24m24∴②式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。

∵2my1y23y1y2【4】、课堂小结，提炼知识

4

弦长问题，对称问题，面积问题，向量问题，定值定点问题，“数”与“形”之间的转化，

教师引导，学生总结。

【5】、教学反思，查缺补漏

在教学中要重视基础，回归课本，先做比较基础的、典型的题型，然后逐渐提高难度，加入一些思维量比较大题目，提高学生的分析能力、性质的灵活运用能力和计算整理能力，突破难点，克服恐惧心理。

【6】、课后训练，巩固提高

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