1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）全国优秀课堂实录

立体几何教学 教学分析： 球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。 学情分析：

学生在高二系统的学习了立体几何，但是经过一年时间已经逐渐淡忘。一部分学生只能解决长方体的外接球问题，稍复杂一点就不会了。

教学目标： 知识与技能：学生学会用构造法解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。 情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。 重点：学会转化的思想方法。 难点：构造法的要点。

教学过程

一、立体几何外接球方法技巧总结

题型一：直棱柱或圆柱的外接球

题型二：一条侧棱垂直于底面棱锥的外接球

题型三：对棱相等的三棱锥的外接球

题型四：有两个面是直角三角形且有相同斜边的三棱锥的外接球

题型五：有两个面相互垂直得棱锥外接球

题型六：正棱锥或者圆锥的外接球球心

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题型一：直棱柱或圆柱的外接球

方法：直棱柱或圆柱外接球的球心位于上下底面外接圆的圆心连线的中点为球心。

由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径

l公式：Rr()222

2

3a; 注1：注：边长为a的正三角形外接圆半径r32注：边长为a的正方形外界圆半径ra; 2ab长为a宽为b的长方形外接圆半径r42222

22ab注：底为a高为b的直三角形外接圆半径r

4特殊情况：四棱柱为长方体时，且长宽高分别为a、b、c则外接球半径为abcR4Rabc422222222（墙角题型）

典型例题1

已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（

）

A．16π

B．20π

C．24π

D．32π

2

解析：V4aa2r2、l4

24R2()6S4πR24π22222典型例题2

一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（

）

A．

B． C． D．3 222332121

解析：r33、l3R(3)()R3242典型例题3

正三棱柱的底面边长为则该球的表面积为（

）

A．4π

B．8π

C．12π

D．16π

32解析：r31、l2R(1)()2S8π32222，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，典型例题4

三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）

A．48π

2B．32π

22C．12π

D．8π

2

22解析：r2、l2R213S12π4题型二：一条侧棱垂直于底面棱锥的外接球

方法：一条侧棱垂直于底面棱锥的球心位于过底面外接圆的圆心作垂线长为侧棱长一半的点球心。

3

l公式：Rr()

2注2：l为侧棱垂直于底面的棱长

222

r为底面外接圆的半径

abc注3：求外接圆的半径可以用正弦定理2r

sinAsinBsinC注4：三角形边之比

1:1:3或者角为30、30、120的等腰三角形的外接圆的半径为短边的长度

注5：三角形边之比1:3:2或者角为30、60、90的直角三角形的外接圆的半径为短边的长度（也就是30所对的直角边长）

典型例题1 已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2锥的外接球的表面积为（

）

A．16π

B．32π

C．64π

D．128π

，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱解析：r23、l4R(23)(2)16S64π

222典型例题2 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2AB=1，AC=2 BAC，π，则球O的表面积为（

）

3A．16π

B．12π

C．8π

D．4π

解析：r1、l23R1(3)4S16π

222

4

典型例题3 在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（

）

A．92

B．272

C．92 D．22

244解析：VπRR3、r3R(3)l93

1192l6V(33sin60)63243222典型例题4 三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=的外接球表面积为（

）

A．π

B．π C．π

D．，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥π

362AB56解析：cosCsinCr、l2151552sinC456838383R()1S4ππ488222题型三：对棱相等的三棱锥的外接球

方法：对棱相等的三棱锥分别为m、n、k可以补到长方体中边长为a、b、c中，则如图可以推导：

mnkR82222

注1：红色三棱锥为对棱相等的三棱锥

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注2：abmbcn2(abc)mnkack222222三式相加22222222

2mnk8RmnkR822222222

注3：特殊情况正四面体也可以看成对棱相等的三棱锥

mnk3m6RRm884

22222注4：对棱相等的三棱锥的外接球的直径的平方等于该三棱锥任意一个点出发的三条棱的平方和的一半。

题型四：有两个面是直角三角形且有相同斜边的三棱锥的外接球

方法：有两个面是直角三角形且有相同斜边的三棱锥的外接球球心为斜边的中点，球半径为斜边的一半。

典型例题1 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，ABBC且PA7，PB5，PC51，AC10,求球O的体积。

解：ABBC且PA7，PB5，PC51，AC10,

因为7251102

所以知AC2PA2PC2

所以

PAPC

所以可得图形为：

在RtABC中斜边为AC

在RtPAC中斜边为AC

2PB6 AOC

取斜边的中点O，

在RtABC中OAOBOC

在RtPAC中OPOBOC

所以在几何体中OPOBOCOA，即O为该四面体的外接球的球心

1RAC5

24500所以该外接球的体积为VR3

33典型例题2 已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=则三棱锥的外接球的表面积为（

）

A．π

B．6π

C．5π

D．8π

，AC=，BC⊥AD，典型例题3 平行四边形ABCD中，

•=0，且|+|=2，沿BD将四边形折起成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（

）

A．4π

B．16π

C．2π

D．

题型五：有两个面相互垂直得棱锥外接球

方法：过两个面的外接圆的圆心作垂线的交点为球心

典型例题1 已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（

）

A．25π

B．26π

C．27π

D．28π

注1：已知两个面的角度求棱锥外接球球心

方法：过两个面的外接圆的圆心作垂线的交点为球心

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题型六：正棱锥或者圆锥的外接球球心

正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上

P

P

A

P

H

C

D

B

O

M

A

O

C

A

H

D

B

M





OH

C

D

B

M球心在高PH上 球心在高PH上 球心在高PH的延长线上

即在锥体内部 即在锥体内部 即在锥体外部

方法：在正棱锥（或圆锥）中，R为外接球半径；h为正棱锥（或圆锥）的高；r为底面外接圆半径；l为侧棱的侧棱长度（圆锥的母线长）且满足：

rhlR(hR)rR。

2h2hl公式：R

2h2222222

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hl注1：若侧棱（母线）和底面所成的角度为α，则sinα，因为R

l2hll

RR2sinα2sinαrhl总结：在正棱锥（或圆锥）中，外接球的半径为：R、R或者2h2hl。

R2sinα典型例题1 已知正五棱锥的侧棱长为6

，高为2，则正五棱锥的外接球表面积2222为

。

l(6)33S4π()9π。

解析：因为R2h2222222球典型例题2

在三棱锥PABC中，PABPAC,ABAC，

PAPB23,若经过P、A、B、C四点的球的表面积为16π，求PA与底面ABC所成角的大小。

解析：PABPAC和ABACPCPBPCPBPA, l3sinα因为S16π4πRR2,又因为R，所以α60。

2sinα22典型例题3 已知球的半径为4RR，则当h时，该球的内接圆锥体积的最大值值为332VπR813。

总结：回顾外接球的方法和总结

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