复习参考题优质课教案设计

章末复习提升课

椭

圆

[问题展示]

xy(选修1-1 P68复习参考题B组T2)从椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足ab恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|＝10＋5，求此椭圆方程．

（－c）2y20【解】

可设P(－c，y0)，则＋2＝1，

2abb2所以y0＝(取正值)．

ab－c，，

所以P的坐标为a又A(a，0)，B(0，b)．

且AB∥OP.所以kAB＝kOP，

b2ab即－＝－.

ac222

所以b＝c，

所以a＝b2＋c2＝2c.

又|F1A|＝a＋c＝(2＋1)c＝10＋5.

所以c＝5，b＝5，a＝10.

x2y2所以椭圆方程为＋＝1. 105

如图，

x2y2椭圆C：2＋2＝1(a＞

abb＞0)的离心率e＝2，A，B分别是椭圆的左，上顶点．P是椭圆上第一象限上的点，F为2右焦点，且PF⊥x轴．

→→(1)求证：存在实数λ，使AB＝λOP，并求λ的值；

5(2)若△OAB的面积为2，求椭圆方程；

2(3)在(2)的条件下，若与AB垂直的直线l与椭圆C相交于M，N，求|MN|的最大值．

x2y2c2【解】

(1)因为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率＝.

aba2所以a＝2c，b＝a2－c2＝c.

x2y2所以椭圆方程为2＋2＝1，设P(c，y0)(y0＞0)．

2ccc2y2220所以2＋2＝1，y0＝c，即P点的坐标为c，c，

2cc22又A(－a，0)，B(0，b)，

2→→所以AB＝(a，b)＝(2c，c)＝2c，c＝2OP.

2→→所以存在实数λ＝2，使AB＝2OP.

(2)由(1)知|OA|＝a＝2c，|OB|＝b＝c.

1252所以S△OAB＝ab＝c2＝.

222所以c＝5，b＝5，a＝10.

x2y2所以椭圆方程为＋＝1.

105b2(3)因为kAB＝＝，所以kl＝－2.

a2x2y2设l的方程为y＝－2x＋t，代入椭圆方程＋＝1得，5x2－42tx＋2t2－10＝0.

105由题意知Δ＝(－42t)2－4×5(2t2－10)＝－8t2＋200＞0，即－5＜t＜5.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

2t2－1042t所以x1＋x2＝，x1x2＝.

55所以|MN|＝[（x1＋x2）2－4x1x2]（1＋k2l）

＝＝

42t－4·2t－10[1＋（－2）2]

5524（－t2＋25）.

2522所以当t＝0时，|MN|max＝26.

如图，

x2y22椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，P是椭圆C上位于第一象限上的点，F为右焦ab2点，PF⊥x轴．

(1)求直线OP的方程；

→→→→(2)过F的直线l与椭圆C相交于A，B，与y轴交于M.MA＝λAF，MB＝μBF，λ＋μ是否为定值．

【解】

(1)因为PF⊥x轴，设P的坐标为P(c，y0)(y0＞0)．

c2y2b20则2＋2＝1，所以y0＝.

abac2又e＝＝.

a2所以a＝2c，b＝a2－c2＝c.

b2ab2c22所以kOP＝＝＝＝.

2cac22c

所以直线OP的方程为y＝2x，即2x－2y＝0.

2(2)由(1)知a＝2c，b＝c，则椭圆C的方程为

x2y2＋＝1，即x2＋2y2＝2c2.

2c2c2设直线l的方程为y＝t(x－c)，代入x2＋2y2＝2c2得．

(1＋2t2)x2－4t2cx＋2t2c2－2c2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，m)．

2t2c2－2c24t2c则x1＋x2＝，xx＝.

1＋2t2121＋2t2→→→→由MA＝λAF，MB＝μBF得

(x1，y1－m)＝λ(c－x1，－y1)，(x2，y2－m)＝μ(c－x2，－y2)．

所以x1＝λ(c－x1)，x2＝μ(c－x2)．

x1x2所以λ＋μ＝＋

c－x1c－x2＝c（x1＋x2）－2x1x2

c－c（x1＋x2）＋x1x222t2c2－2c24t2cc·－2·1＋2t21＋2t2＝222

4t2c22tc－2c2c－＋1＋2t21＋2t24c2＝2＝－4.

－c所以λ＋μ＝－4(定值)．

双曲线

[问题展示]

(选修1-1 P48探究)如图，点A、B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点4M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．

9

【解】

设M的坐标为(x，y)，

4yy4由kMA·kMB＝得·＝，

9x＋5x－59x2y2即－＝1(y≠0)．

251009轨迹是以(－5，0)，(5，0)为空心顶点的双曲线．

x2y2【问题1】

已知A1，A2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的顶点，M是双曲线上不与A1，A2abb2重合的任一点，求证kMA1·kMA2＝2. a【证明】

由题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，

设M(x0，y0)．

y0y0y20则kMA1·kMA2＝·＝22.

x0＋ax0－ax0－ax2y2又M(x0，y0)在双曲线2－2＝1上．

abx2y200所以

2－2＝1

ab即b222y0＝2(x0－a2)．

a

b222（x0－a）a2b2所以

kMA1·kMA2＝＝2.

2ax20－ax2y2【问题2】

已知AB是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)过原点的弦，M是双曲线上不与A、Babb2重合的任一点，求证：kMA·kMB＝2. a【证明】

设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，M(xm，ym)，

x2y2由于A、B、M都是双曲线2－2＝1上的点，

ab22x0y2x2ym0m则2－2＝1①，2－2＝1②.

abab2222①—②得b2(x20－xm)－a(y0－ym)＝0，

2y0－y2b2m即22＝2，

x0－xma所以

kMA·kMB＝2y0－y2b2m＝22＝2.

x0－xmay0－ymy0＋ym·

x0－xmx0＋xm

b2所以

kMA·kMB＝2. a

【拓展1】

x2y2如图，A1、A2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个顶点，M是双曲线上的点．若△A1A2M是ab顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的离心率为(

) A.2

C．2 b2由逆向问题知，kMA1·kMA2＝2.

ab2则2＝tan 30°·tan 60°

＝1，

a即a2＝b2，

所以c2＝2a2，c＝2a.

c2a所以离心率e＝＝＝2.

aa【答案】

A 【拓展2】

(将此性质推广到椭圆) x2y2已知B1、B2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)在y轴上的两个顶点，M是椭圆上不同于B1、B2的点，ab3且kB1M·kB2M＝－. 4(1)求椭圆的离心率；

(2)若|B1B2|＝23，直线MB1与MB2与x轴分别交于P，Q，O为坐标原点，求|OP|·|OQ|的值．

【解】

(1)由题意得B1(0，b)，B2(0，－b)，设M(x0，y0)，

2－b22x0y2022则2＋2＝1，即y0－b＝2x0.

abaB．3 D．3 【解析】

由题意知∠MA1A2＝30°，∠MA2x＝60°.

b222－2x0ay0－by0＋by20－b所以

kB1M·kB2M＝·＝2＝2

x0x0x0x0b23＝－2＝－.

a4

3所以

b2＝a2.

411所以

c2＝a2－b2＝a2，即c＝a.

42c1所以

e＝＝.

a2(2)因为

|B1B2|＝23，则

b＝3，所以B1(0，3)，B2(0，－3)，

3设kB1M＝k, 则kB2M＝－，

4k直线B1M与B2M的方程分别为

B1M：y＝kx＋3；

3B2M：y＝－x－3.

4k令y＝0得P、Q的坐标分别为(－所以

|OP|·|OQ|＝|－|OQ|的值为4.

抛物线

[问题展示]

(选修1-1 P61例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．

【解】

343k，0)，(－，0)，

k3343|·|－k|＝4.即|OP|·

k3

由已知得，抛物线的焦点为F(1，0)，

所以

l的方程为

y＝x－1，代入y2＝4x得

x2－6x＋1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以

x1＋x2＝6，x1x2＝1.

法一：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

法二：|AB|＝[ （x1＋x2）2－4x1x2]（1＋k2）

＝（62－4×1）（1＋12）＝8.

过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于A、B，线段AB的中点到准线的距离为4，且△OAB的面积为22，求抛物线方程和直线l的方程．

【解】

当直线l⊥x轴时，易知AB＝2p，AB的中点F到准线的距离为p，由题意得

p＝41

无解，

p×2p×＝2222故直线l的斜率存在．

p设l的方程为y＝k(x－)，代入y2＝2px得

2k2p2kx－p(k＋2)x＋＝0.

4222设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

p（k2＋2）p2则x1＋x2＝，x1x2＝，

k24因为

AB的中点到准线的距离为4，

x1＋x2p即＋＝4，即x1＋x2＋p＝8.所以

|AB|＝8，

22p（k2＋2）即＋p＝8.所以

pk2＋p＝4k2.①

2kp|k|＝.

k2＋12k2＋1pk||2又原点O到AB的距离d＝1由S△OAB＝22得|AB| ·d＝22，

21p|k|即×8·2＝22，所以

p2k2＝2k2＋2.②

22k＋1由①②联解得p＝2，k＝±1.

所以抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为y＝±(x－1)．

x221．若双曲线－y＝1的实轴长是离心率的2倍，则m＝

(

) m

1＋5A.

2C．3 B．2 D．5 m＋1，m解析：选A.由双曲线的方程，可知m>0，a＝m，b＝1，则c＝m＋1，所以2m＝2×1＋5解得m＝，故选A. 2x2y22．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是(

) 164A．－55

4455或k＝－

44B．k＝C．k>D．k<55或k<－

4455且k≠－

44kx－y＋3＝0，22解析：选C.由xy可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝(24k)2－4×(4k2＋1)×2016＋4＝1＝16(16k2－5)>0，即k>55或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．

44x2y253．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，ab2x2y2且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(

) 123x2y2A.－＝1 810x2y2C.－＝1 54x2y2B．－＝1 45x2y2D．－＝1 43x2y2x2y2解析：选B.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，因为双454k5kx2y2x2曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为1234y2－＝1.故选B. 54．已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶5，则a的值为(

) 26A.

3B．6

3

23C.

3D．3

3解析：选A.过点M作准线的垂线，垂足为B，准线与x轴交于点K，则|MF|＝|MB|，cos∠265126|OA|2NFK＝cos∠NMB＝，sin∠NFK＝，tan∠NFK＝＝＝26，故＝26，得到a55|OF|1a5426＝，选A. 3x2y25．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(23，－3)．若双曲线M以双曲169线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．

x2y2解：由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0)．

169因为点A(23，－3)在双曲线E上，

（23）2（－3）2所以－＝t，

1691y2x2所以t＝－，所以双曲线E的标准方程为－＝1.

4944x2y2所以双曲线M的标准方程为－＝1. 494