习题3.1国家优质课一等奖

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直线部分单元练习

第I卷（选择题) 一、单选题

1．已知直线l1；2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1⊥l2，则a的值为（

）

A．8

B．2

C．

D．

2．直线

的倾斜角为

……○

__○_…__…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………A．

B．

C．

D．

3．已知A（2，3），B（﹣1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则yx3的最大值为（

）A．1 B．315

C．2

D．﹣3 4．与直线l1：x3y10垂直且过点(1,3)的直线l2的方程为（ ）

A．x3y20

B．3xy0

C．x3y40

D．3xy2305．已知直线l1:mx(m3)y10，直线l2:(m1)xmy10，若l1l2则m（ ）

A．m0或m1

B．m1

C．m32

D．m0或m32

6．已知点

，

，直线l方程为

，且与线段AB相交，求直线l的斜率 的取值范围为

A．

或

B．

或

C．

D．

7．设点

为直线

：

上的动点，点 ，

，则

的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．

8．方程

所表示的直线（ ）

A．恒过定点

B．恒过定点 C．恒过点 和点

D．都是平行直线

第II卷（非选择题) 二、填空题

9．过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________

10．点 到直线

的距离的最大值为________. 三、解答题

试卷第1页，总2页

………线…………○…………

11．已知直线l1：x-2y+3=0与直线l2：2x+3y-8=0的交点为M，

（1）求过点M且与直线l3：x+3y+1=0平行的直线l的方程．

（2）求过点M且到点P（0，4）的距离为2的直线l的方程；

………线…………○…………

12．已知

，

，

．

（Ⅰ）求过点

且与直线 垂直的直线方程；

（Ⅱ）经过点

的直线

把 的面积分割成

两部分，求直线

的方程．

13．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．求AD边所在直线的方程.

试卷第2页，总2页

……○

…※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………

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参考答案

1．D 【解析】

试题分析：根据两直线平行的条件，可得

，故选A.

考点：1.两直线的位置关系；2.两直线平行的条件. 2．D 【解析】

【分析】

把直线方程的一般式方程化为斜截式方程，求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出倾斜角. 【详解】

，设直线

的倾斜角为

，

，故本题选D. 【点睛】

本题考查了直线方程之间的转化、利用斜率求直线的倾斜角问题. 3．C 【解析】

【分析】

设Q（3,0），利用斜率计算公式可得：kQA，kQB．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．

【详解】

设Q（3，0），则kAQ302013，kBQ，

23132∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，

y1的取值范围是[﹣3，]，

2x3y1故则的最大值为，

2x3∴故选：C．

【点睛】

本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．B 答案第1页，总7页

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【解析】

【分析】

求出直线l1的斜率，然后求出与其垂直的直线l2的斜率，利用点斜式可得直线l2的方程，化为一般式，最后选出正确答案. 【详解】

∵直线l1：x3y10的斜率为3，∴与其垂直的直线l2的斜率为3，根据点斜式3可得直线l2的方程为y33(x1)，即3xy0. 【点睛】

本题考查了两直线互相垂直时，它们的斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用. 5．A 【解析】

【分析】

根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】

因为直线l1:mx(m3)y10与直线l2:(m1)xmy10垂直，

所以m(m1)m(m3)0，即m(m1)0，解得m0或m1. 故选A 【点睛】

本题主要考查根据直线垂直求参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型. 6．A 【解析】

【分析】

直线l方程为

，可以化为点斜式，这样可以求出直线l恒过定点的坐标，直线l与线段AB相交，利用数形结合，可以求出直线l斜率 的取值范围. 【详解】

因为

，所以直线l过 点，如下图所示：

答案第2页，总7页

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直线 的斜率为

，直线 的斜率为

，

直线l与线段AB相交，所以有

或

，故本题选A. 【点睛】

本题考查了已知直线点斜式方程求直线过定点的问题.考查了当直线与线段相交时，求直线斜率取值范围问题，解题的关键是数形结合. 7．A 【解析】

【分析】

设点

关于直线

的对称点为

，利用对称性列方程组求得

，利用对称性可得

，结合图像即可得当

三点共线时，

最大，问题得解。

【详解】

依据题意作出图像如下：

设点

关于直线

的对称点为

，

答案第3页，总7页

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则它们的中点坐标为：

，且

，解得：

，

由对称性可得：

所以

因为

，所以当

三点共线时，

最大

此时最大值为

故选：A 【点睛】

本题主要考查了点关于直线对称的点的求法，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题。

8．B 【解析】

【分析】

方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0化为：a（x+2）﹣x﹣y+1＝0，令

，解出即可得

出．

【详解】

方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0化为：a（x+2）﹣x﹣y+1＝0，

令

，解得x＝﹣2，y＝3．

所表示的直线恒过点（﹣2，3）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了直线系方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

9．

或

【解析】

【分析】

当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式．当直线不过原点时，设直线的方程为

，把P代入直线的方程，求出m值，可得直线方程．

【详解】

当直线过原点时，斜率等于

，故直线的方程为y

x，即3x-2y=0；

答案第4页，总7页

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当直线不过原点时，设直线的方程为

，把P（2，3）代入直线的方程得

m＝5，

故求得的直线方程为x+y﹣5＝0，

综上，满足条件的直线方程为3x-2y=0或

x+y﹣5＝0．

故答案为3x-2y=0或

x+y﹣5＝0．．

【点睛】

本题考查直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，注意考虑截距为0的情况．

10．

【解析】

【分析】

先判断

过定点

，可得点

到直线

的距离的最大值就是点

与点

的距离，从而可得结果.

【详解】

化简

可得

，

由

，

所以

过定点

，

点

到直线

的距离的最大值就是

点

与点

的距离为

，

故答案为

. 【点睛】

本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.

转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙. 11．（1）y=2或4x-3y+2=0；

（2）x+3y-7=0. 【解析】

【分析】

(1)先求两条直线的交点,设所求直线斜率

，利用点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出

，从而确定直线方程；(2)根据直线平行求出直线的斜率,利用点斜式方程求解即可. 答案第5页，总7页

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【详解】

（1）由l1：x-2y+3=0与l2：2x+3y-8=0联立方程x-2y+3=0与2x+3y-8=0解得，

∴l1，l2的交点M为（1，2），

设所求直线方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，

∵P（0，4）到直线的距离为2，

∴

，解得k=0或，∴直线方程为y=2或4x-3y+2=0；

（2）过点（1，2）且与x+3y+1=0平行的直线的斜率为：-，

所求的直线方程为：y-2=-（x-1），即x+3y-7=0．

【点睛】

本题主要考查待定系数法求直线方程以及直线点斜式方程，属于中档题.待定系数法求直线方程的一般步骤是：（1）判断，根据题设条件判断出用那种形式的直线方程参数较少；（2）设方程，设出所选定的标准形式的直线方程；（3）求参数，根据条件列方程求出参数；（4）将参数代入求解；（5）考虑特殊位置的直线方程，因为除一般式外，其他四种标准方程都有局限性. 12．（Ⅰ）

（Ⅱ）

或

．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用斜率计算公式可得

，再由直线方程的点斜式求解；

（Ⅱ）设直线

与

轴相交于点

，根据经过点

的直线

把 的面积分割成

两部分，可得

或

，解得

，即可得出直线

的方程．

【详解】

解：（Ⅰ）∵

，

，∴

，

∴过点

且与直线 垂直的直线方程为：

，

即：

；

（Ⅱ）设直线

与

轴相交于点

．

∵经过点

的直线

把 的面积分割成

两部分，

∴

或

，

解得

或

．

答案第6页，总7页

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∴直线

的方程为：

或

．

【点睛】

本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程，考查了推理能力与计算能力，是中档题．

13． ＋

＋

＝

【解析】

试题分析：本题考查直线方程的几种形式中的点斜式，已知直线上一点的坐标，并能求出直线的斜率，利用直线方程的点斜式可以写出直线方程，矩形相邻两边所在的直线互相垂直，利用两条直线垂直斜率的关系求出AD所在直线的斜率，直线AD过点T，利用点斜式求出AD所在直线的方程，

试题解析：

因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3. 又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0. 【点睛】直线方程有五种形式，包括直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，利用哪种形式解题取决于直线所提供的条件和所要解决的问题，需要灵活使用，需要注意的是点斜式、斜截式、两点式、截距式都有其缺欠，不能表达斜率不存在的直线，而截距式不等表达两轴截距不存在的直线以及过圆点的直线，使用时要注意补充. 答案第7页，总7页