1.2.3 空间几何体的直观图名师课堂实录

1、2、3 空间几何体的直观图

课前预知

正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图. 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置. 一、教学目标

1、学会用斜二测画法画空间几何体的直观图；

2、掌握直观图和三视图的互化. 二、教学重点、难点

用斜二测画法画空间几何图的直观图

三、教学过程

1、阅读教材第16页内容，完成问题（平面图形的直观图画法）

（寄语教师：其实我们考试中涉及比较多的是平面直观图的画法.这一节课本身是一个非重点，但是这部分是非重点中的重点，要把握好.）

<1>根据课本例题1，请你总结一下斜二测画平面图形直观图的画

法的步骤.

结论：<1>画法：1°如图（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°（或1350）.2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=1/2MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′(3)；步骤是：1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或1

135°)，它们确定的平面表示水平面.2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 练习一：教材19页练习1、2、3；用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形；画水平放置的等腰梯形的直观图；④关于斜二测画法所的直观图，下列说法正确的是（A、等腰梯形的直观图仍为等腰梯形；B、正方形的直观图为平行四边形；；C、梯形的直观图可能不是梯形；D、正三角形的直观图一定为等腰三角形.）

2、阅读教材第17页例2，回答问题（空间几何体的直观图画法）

<2>用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.用斜二测画法画水平放置的 平面图形和几何体的直观图有什么不同？总结画几何体的直 观图的步骤.

结论：<3>画法：1°画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. 2°画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=cm.（3/2）分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.3°画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.注意：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感. 画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系. 画几何体的直观图的步骤是：1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°. 2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面. 3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 练习二：教材18页例3；教材20页练习4；完成教材19页探究内容. 思考：斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？

根据今天所学的知识，归纳出斜二测画法的作图技巧. 2

结论：“斜”是指在已知图形的xoy平面内垂直于x轴的线段，在直观图形中均与x轴成450或1350；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段长度变为原来的一半.1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等. 2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图. 四、小结

这一节课主要学习了空间几何体的直观图的一种画法，斜二测画法.其中主要学***放置图形、立体图形的画法，以及由三视图还原直观图.这一节课是了解内容，学生大体会作图即可. 五、作业

1、必做题：完成教材20页练习4、5；完成教材21页习题1.2A组第4题. 2、选做题：根据下图所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状.

'3