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双曲线复习题之易错题

一、双曲线的部分结论：

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 2b2(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、b2右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. θtan2x2y2(5)若P是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. x2y2(6)设F1，F2是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)，AB是过F1的弦，则|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a. x2y2(7)AB为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．则

①弦长l＝1＋k|x1－x2|＝二、特殊曲线

1、等轴双曲线

(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线．

(2)性质：①a＝b；②e＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项2共轭双曲线

21b2x01＋k2|y1－y2|；②直线AB的斜率kAB＝a2y. 0．

(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．

(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1. 三、应用

一）、渐近线问题：

x2y22221.已知双曲线221a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆xya的ab切线，交双曲线右支于点M，若F1MF245，则双曲线的渐近线方程为（

）

A．y2x

二）、离心率问题：

2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.B．y3x

C．yx

D．y2x

x2y2设F1,F2分别是双曲线C：221（a>0，b>0)的左、右焦点，P是该双曲线右支上的ab一点，若PF1PF2的“勾”“股”，且PF1,PF2分别是RtF1PF24ab，则双曲线的离心率为_________

x2y23.已知O为坐标原点，F为双曲线221（a>0，b>0)的左焦点，过点F且倾斜角为

的直ab线与双曲线右支交于点P，线段PF上存在不同的两点A，B满足

，且

，则双曲线的离心率为

A．

4.已知双曲线：关于原点的对称点为，且满足A.

B.

C. 2

D.

，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，，若，则的离心率为（

）

B．

C．

D．

x2y25.已知双曲线221的左右焦点为F1，F2，O为它的中心，P为双曲线右支上的一点，ab△PF1F2的内切圆圆心为I，且圆I与x轴相切于A点，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若双曲线的离心率为e，则（

）

A．OBOA

B．OBeOA

C．OAeOB

D．OB与OA关系不确定

四、总结：求双曲线离心率的方法

(1)定义法：直接求出a，c的值来解e，通过已知条件列方程，解出a，c的值．

(2)解方程法：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．

(3)通过特殊值或特殊位置求离心率．此方法多用于选择题和填空题．

(4)求离心率的最值，往往借助图形的性质、曲线的范围、正余弦函数的有界性、基本不等式等来构造关于a，b，c的不等式，从而达到求解的目的．