3.3.4 两条平行直线间的距离ppt课件教学实录

第三章

3.3

3.3.3

基础巩固

一、选择题

1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)，B(－4,3)，C(2，－3)，则点A到BC边的距离为(

) 9A．

225C．

5[答案]

B y－3x＋4|2×1＋6×1＋1|[解析]

BC边所在直线的方程为＝，即x＋y＋1＝0；则d＝－3－32＋4292＝. 22．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(

) A．4

5C．13

26[答案]

D |1－－6|710[解析]

3x＋y－3＝0变形为6x＋2y－6＝0，可知m＝2，则d＝＝. 2062＋223．若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(

) 7A．

971C．－或－

93[答案]

C |－3a－4＋1||6a＋3＋1|17[解析]

由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－. 39a2＋1a2＋14．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为(

) A．(1,2)

C．(1,2)或(2，－1)

[答案]

C B．(2,1) D．(2,1)或(－1,2) 1B．－

371D．或

93B．213 1392B．

2D．43 7D．10 20

3x＋y－5＝000x0＝1x0＝2[解析]

设点P的坐标为(x0，y0)，则有|x0－y0－1|，解得或. ＝2y＝2y＝－1002

5．与直线2x＋y＋1＝0的距离为A．2x＋y＝0 C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 [答案]

D 5的直线方程为(

) 5B．2x＋y－2＝0 D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 [解析]

根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋C＝0(C≠1)，因为两直线间的距离等于|C－1|55，所以22＝，解得C＝0或C＝2，所以所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝552＋10.故选D．

6．(2013·广东改编) 直线l垂直于直线y＝x＋1，原点O到l的距离为1，且l与y轴正半轴有交点，则直线l的方程是(

) A．x＋y－2＝0

C．x＋y－1＝0

[答案]

A [分析]

所求直线l与直线y＝x＋1垂直，可以直接设直线l的方程为y＝－x＋b，与y轴正半轴有交点，确定截距范围，再利用原点到直线的距离等于1求参数，得直线方程．

[解析]

因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以直接设直线l的方程为y＝－x＋b，又l|0＋0－b|与y轴正半轴有交点，知b>0，即x＋y－b＝0(b>0)的距离22＝1，求得b＝2(b＝－21＋1舍去)，所以所求直线l的方程为x＋y－2＝0. 二、填空题

7．两条直线l1：3x＋4y＋1＝0和l2：5x＋12y－1＝0相交，则其顶点的角平分线所在直线的方程为_________. [答案]

7x－4y＋9＝0,8x＋14y＋1＝0 |3x＋4y＋1|[解析]

设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P到l1，l2的距离相等，即32＋42|5x＋12y－1|＝，整理，得所求直线的方程为7x－4y＋9＝0,8x＋14y＋1＝0. 52＋1228．过点A(－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_________. [答案]

3x－y＋10＝0 1[解析]

当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求3B．x＋y＋1＝0 D．x＋y＋2＝0

直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0. 三、解答题

9．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其它三边的方程．

2x－y＋2＝0，x＝－1，[解析]

由解得

x＋y＋1＝0，y＝0，

即该正方形的中心为(－1,0)．

所求正方形相邻两边方程3x－y＋p＝0和x＋3y＋q＝0. ∵中心(－1,0)到四边距离相等，

∴|－3＋p||－1＋q|66＝，＝，

10101010解得p1＝－3，p2＝9和q1＝－5，q2＝7，

∴所求方程为3x－y－3＝0,3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0. 10．求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．

[分析]

解答本题可先设出过点P的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程．另外，本题也可利用平面几何知识，先判断直线l与直线AB的位置关系，再求l方程．事实上，l∥AB或l过AB中点时，都满足题目的要求．

[解析]

方法1：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，即直线方程为y－2＝k(x－1)，

|2k－3－k＋2||5－k＋2|由条件得＝，解得k＝4，

22k＋1k＋1故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0. 方法2：由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点．

∵kAB＝4，

若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0. 若l过AB中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，

∴所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0. 规律总结：针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量．有时也可利用平面几何知识先判断直线l的特征，然后由已知直接求出直线l的方程．

能力提升

一、选择题

1．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为(

)

9A．

5C．3

[答案]

C 18B．

5D．6 [解析]

|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3. 2．过两直线x－3y＋1＝0和3x＋y－3＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有(

) A．0条

C．2条

[答案]

B B．1条

D．3条

x－3y＋1＝0，[解析]

联立方程组解得33x＋y－3＝0，y＝2，

1x＝，2

13即交点坐标为(，)，它22到原点的距离恰好等于1，故满足条件的直线共有1条．

3．到两条直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程(

) A．x－4y＋4＝0 B．7x＋4y＝0 C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0 D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0 [答案]

D [解析]

结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得|3x－4y＋5||5x－12y＋13|3x－4y＋55x－12y＋13＝，即＝±，化简得7x＋4y51332＋－4252＋－122＝0或32x－56y＋65＝0. 4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(

) A．8

C．2

[答案]

A [解析]

x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，

|－4|∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝22，

2∴x2＋y2最小值为8.故选A．

B．22 D．16

二、填空题

15．已知点A(1,1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，则当|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的2坐标为_________. 99[答案]

(，) 510[解析]

设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t－1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－18t＋109919999＝10(t2－t＋1)＝10(t－)2＋，当t＝时，|PA|2＋|PB2|取得最小值，即P(，)．

51010105106．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是_________. [答案]

②③

[解析]

根据题意，看所给直线上的点到定点M的距离能否取4.可通过求各直线上的点5＋1到M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．①d＝＝32＞4，故直线上不存在点2到M距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝20＝4，直线上存在一点，使之32＋42到点M距离等于4，是“切割型直线”；④d＝于4的点，不是“切割型直线”，故填②③. 三、解答题

11115＝＞4，故直线上不存在到M距离等557．过点(2,3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，求直线l的方程．

[解析]

设线段AB的中点P的坐标为(a，b)，由点P到直线l1，l2的距离相等，得|2a－5b＋9||2a－5b－7|＝，整理得2a－5b＋1＝0.又点P在直线x－4y－1＝0上，所以a－22＋－5222＋－522a－5b＋1＝0a＝－34b－1＝0.解方程组，得，即点P的坐标为(－3，－1)．又直线la－4b－1＝0b＝－1

y－－1x－－3过点(2,3)，所以直线l的方程为＝，即4x－5y＋7＝0. 3－－12－－38．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．

[解析]

由题知|AB|＝3＋12＋2－52＝5，

1∵S△ABC＝|AB|·h＝10，∴h＝4. 2

3设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y－2＝－(x－3)，即3x＋4y－17＝0. 43x－y＋3＝0，00∴|3x0＋4y0－17|

＝4，5

x0＝3，x0＝－1，解得或y0＝0

5y0＝8.

5∴点C的坐标为(－1,0)或(，8)．

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