习题2.3精品学案

《垂直关系（复习课）》教学设计

泰来县第三中学 徐健

教学目的：

1.掌握空间直线和平面的位置关系；

2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面”平行的转化

教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用

教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用

内容分析：

本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础

前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程：

一、基础知识梳理：

1．直线与平面垂直

(1)定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的 都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做 ，这个平面叫做 ，交点叫做 ．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的 ，垂线段的长度叫做 ．

(2)判定定理：如果一条直线与平面内的 垂直，则这条直线与这个平面垂直．其符号语言为 . (3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．其符号语言为 . 2．平面与平面垂直

(1)定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面 ，且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直．

(2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

其符号语言为： . (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．其符号语言为： . 二、三基能力强化

1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是________．

解析：由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β. 答案：b⊂β或b∥β

2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面有___________________个．

答案：1 3．设α、β、γ为平面，给出下列条件：

1

①a、b为异面直线，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；

②α内不共线的三点到β的距离相等；

③α⊥γ，β⊥γ. 则其中能使α∥β成立的条件的个数是________．

解析：①由a∥β知β内有直线a′∥a，所以a′∥α，由a、b异面知a′，b相交，又b∥α，根据平面与平面平行的判定定理知α∥β，②③中α与β可能相交．故只有①成立．

答案：1 4．垂直于同一平面的两条直线________．

答案：平行

5．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则n与α的位置关系为________．

答案：n∥α或n⊂α

三、课堂互动讲练

考点一：直线与平面垂直

证明线面垂直的方法和常用结论

(1)利用线面垂直的定义．

(2)利用线面垂直的判定定理．

(3)两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面．

(4)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．

(5)一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．

(6)两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．

例1：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点F、H分别为A1D、A1C的中点．

(1)证明：A1B∥平面AFC；

(2)证明：B1H⊥平面AFC.

【思路点拨】

(1)连结BD，利用三角形的中位线，证明线线平行；(2)利用线面垂直的判定定理证明线线垂直．

【证明】

(1)连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，

又F为A1D的中点，所以EF∥A1B. 又EF⊂平面AFC，A1B⊄平面AFC，

由线面平行的判定定理可得A1B∥平面AFC.

2

(2)连B1D, 在正方体中A1B1CD为长方形，

∵H为A1C的中点，

∴H也是B1D的中点，

∴只要证B1D⊥平面ACF即可．

由正方体性质得AC⊥BD，AC⊥B1B，

∴AC⊥平面B1BD，

∴AC⊥B1D，

又F为A1D的中点，

∴AF⊥A1D，又AF⊥A1B1，

∴AF⊥平面A1B1D，

∴AF⊥B1D，又AF、AC为平面ACF内的相交直线．

∴B1D⊥平面ACF. 即B1H⊥平面ACF. 【点评】

证明线面垂直，往往利用线线垂直或面面垂直转化，除此外，构造等腰三角形证垂直及利用勾股定理求长度之间的关系证明垂直，甚至借助矩形相邻边的垂直等，都是可能用到的方法．

跟踪训练

1．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．

(1)求证：B1D1∥面A1BD；

(2)求证：MD⊥AC；

(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

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解：(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD. 而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，

所以B1D1∥平面A1BD.

(2)证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，

又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，

而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC. (3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D

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取DC的中点N，D1C1的中点N1，连结NN1交DC1于O，连结OM. 因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，

所以BN⊥面DCC1D1. 又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D. 考点二：面面垂直的证明

1．判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)．

(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．

2．在求平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本节内容的显著特征．掌握转化思想方法是解决这类问题的关键．

例2：(2009年高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C. 求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

【思路点拨】

(1)在△A1BC中证明EF∥BC；(2)证明A1D⊥平面BB1C1C. 【证明】

(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC. 因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC. (2)由三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1. 又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D. 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C⊂平面BB1C1C，

故A1D⊥平面BB1C1C，

又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C. 【点评】

证明面面垂直，通常是证明一个平面过另一个平面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直．因此，正确地选择垂线是解题的关键，垂线一般选取的方法是作出两平面的交线在一个平面内的垂线．

互动探究

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2．将例2中“直三棱柱”改为“正三棱柱”，“点D在B1C1上，A1D⊥B1C”改为“点D是B1C1的中点”，证明平面A1FD⊥平面BB1C1C. 解：由正三棱柱的知识知CC1⊥A1D，

又在底面A1B1C1中，D为B1C1的中点，

∴A1D⊥B1C1，

∴A1D⊥平面BB1C1C，

∴平面A1DC⊥平面BB1C1C，

即平面A1FD⊥平面BB1C1C. 考点三：空间中垂直关系的综合问题

在几何图形中线线、线面、面面的垂直关系三者往往互相转化应用，灵活应用这种转化才能快速地解题．

例3：(解题示范)(本题满分12分) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BB1和DD1中点．

(1)求证：平面B1FC1∥平面ADE；

(2)试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE.

【思路点拨】

(1)证线线平行；(2)设平面ADE与CC1交于点G，D1M⊥平面ADE，所以D1M⊥DG，可知M应为CD中点．

【证明】

(1)可证AD∥平面FB1C1，

AE∥平面FB1C1，4分

∵AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，

∴平面ADE∥平面FB1C1.6分

(2)M应是DC的中点．

∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M⊂平面DD1C1C，

∴B1C1⊥D1M，8分

由平面几何知识得FC1⊥D1M，

FC1∩B1C1＝C1，FC1，B1C1⊂平面FB1C1，

∴D1M⊥平面FB1C1，

又由(1)知平面ADE∥平面FB1C1，10分

∴D1M⊥平面ADE.12分

【点评】

证明平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决；而作辅助线则应有理论根据

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并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本节内容的显著特征．掌握转化思想方法是解决这类问题的关键．

自我挑战

3．(本题满分10分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

证明：(1)取AD的中点G，连结PG、BG、BD. ∵△PAD为等边三角形，

∴PG⊥AD.2分

在△ABD中，∠BAD＝60°，AD＝AB，

∴△ABD为等边三角形．

∴BG⊥AD，

∴AD⊥平面PBG. ∴AD⊥PB.4分

(2)连结CG，与DE相交于点H，

在△PGC中作HF∥PG，交PC于点F. ∵平面PAD⊥平面ABCD，8分

∴PG⊥平面ABCD. ∴FH⊥平面ABCD. ∴平面DEF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点，

∴F是PC的中点，

∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.10分

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四、规律方法总结

1．线面垂直

(1)判定定理可以简单地记为“线线垂直⇒线面垂直”，定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”．证题时常常是定义和判定定理反复使用，使线线垂直与线面垂直之间相互转化．

(2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线⊥线⇒线⊥面，线∥线⇒线∥面．

2．面面垂直

(1)两个平面垂直是通过这两个平面所成的二面角的度数来定的，同时也给我们提供了一种证明方法：求二面角法．

(2)欲证两个平面互相垂直，可证明由它们组成的二面角的平面角为直角(必须先作出平面角来)，因此这个定义既是平面和平面垂直的判定又是性质．

(3)两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面垂直的依据，而且是找出垂面的依据(即在经过该平面的垂线的平面内找)．

(4)两个平面垂直的判定定理和性质定理分别由线面垂直得出面面垂直，以及由面面垂直得到线面垂直，从这一方面可知线面垂直与面面垂直的密切关系，解决有关问题时，经常利用“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”这种转化思想．

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