1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案3

第三课时 球的表面积与体积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.（2）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.3．情感、态度与价值让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：球的表面积与体积的计算难点：简单组合体的体积计算（三）教学方法讲练结合教学过程

新课引入

教学内容

复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题. 41．球的体积：VR33师生互动

师生共同复习，教师点出点题（板书）

师：设球的半径为R，那4么它的体积：VR3，它的3设计意图

复习巩固

2．球的表面积：S4R2

面积S4R2现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？生：这两个公式说明球的探索新知

体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.加强对公式的认识培养学生理解能力

师

(肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用. 典例分析

例1

如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：

教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案本题较易，学生独立

（1）球的体积等于圆柱体积的2；3并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）完成，有利于培养学生问题解决的能力.

（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.4因为V球R3，3

V圆柱R22R2R3，2所以，V球V圆柱.3

（2）因为S球4R2，

S圆柱侧2R2R4R2，所以，S球

= S圆柱侧.

例2

球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（

）A．6:13

B．5:14C．3:4

D．7:15教师投影例2并读题，通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征. 生：球内切于圆台. 师：你准备怎样研究这个组合体？

生：画出球和圆台的轴截面. 【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.师：圆台的高与球的哪一个量相等？

生：球的直径. 师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？

力.

生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系. 师投影轴截面图，边分析设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面边板书有关过程.

几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何

∵∠AOB

= 90°，OE⊥AB (E为切点)，

∴R2 = OE2 = AE·BE = r1·r2.由已知S球∶S圆台侧= 4R2∶

2(r1+r2) = 3∶42(r1 + r2) =162R.3体的截面，在截面上运用平面

V球∶V圆台

=4R331(r12r1r2r22)2R3几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.

本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论. 2R22R2=2(r1r2)r1r2162RR236.13

故选A.例3

在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程. 师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的解：∵PA、PB、PC两两垂直，PA = PB = PC = a.∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.三条棱，所以P

–

ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线. 又∵P、A、B、C四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球

，正方体的对角线是球的直径.3∴2R3a,Ra.2

∴VR3(33a

2434333a)21．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？

（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积. 随堂练习

（3）一个球的体积是100 cm，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).

参考答案：

1．（1）8倍；（2）104. 归纳1．球的体积和表面积

归纳总结

2．等积变换

3．轴截面的应用

学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善

知识，提高学生自我整合知识的能力. 课后作业

备用例题

例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．

【分析】

可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂

直于截面小圆平面．

【解析】

如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA = OB = OC

= R，则O1是△ABC的外心．

1.3 第三课时

习案

学生独立完成

固化练习

提升能力

3acm3（3）62学生独立完成

巩固所学知识

设M是AB的中点，由于AC = BC，则O1∈CM．

设O1M = x，易知O1M⊥AB，则O1A =

又O1A = O1C

∴

22x26222x．解得x22x2，O1C = CM

–

O1M = 6222

–

x 72

4则O1A = O1B = O1C = 92．

4R，∠OO1A = 90°，OA = R，

2在Rt△OO1A中，O1O = R92236由勾股定理得()2(．

)R2．解得R2424故S球面4R254,V球R3276．

3例2．如图所示棱锥P

–

ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC =2a，且PD是四棱锥的高．

（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；

（2）求四棱锥外接球的半径．

图4—3—9 【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．

【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．

1VPABCDS3SSABCD11PDaaaa3，

33PADPDC11aaa2，

22SPABSPBC122a2aa，

22

S□ABCD = a2．

VP

–

ABCD = VS

–

PDA

+ VS

–

PDC

+ V S –

ABCD

+ VS

–

PAB

+ Vs

–

PBC

，

131aR(S33SSSS)，

PADPDCPABPBCABCD13112122222aR(aaaaa2)，

332222P

所以a222R1a(1)a，

(22)a2a3，R223322F

D

C

即球的最大半径为(12)a．

2（2）法一：设PB的中点为F．

因为在Rt△PDB中，FP = FB = FD，

在Rt△PAB中，FA = FP = FB，

在Rt△PBC中，FP = FB = FC，

所以FP = FB = FA = FC = FD．

A

B

图4—3—10 所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．

法二：球心O在如图EF上，设OE = x，EA = 12122ax2OA

a，REA2OE222a

2又OP(ax)2DE2(ax)2a2 得x即球心O在PB中点F上．

【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．