1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学内容分析

全称量词与存在量词 教学目标

1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；

2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“” “

”来表述相关的教学内容；

3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；

4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 5.使学生对数学语言的认识更加准确，并能运用到实际生活中。

教学重点、难点：1.准确理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题，并能用符号语言表示；

2.能准确地对含有一个量词的命题进行否定，特别是对关键词的否定。

课题引入：

1.思考? 下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有什么关系? (1) x3 (2)2x+1是整数; (3)对所有的xR,x3

(4)对任意一个xZ, 2x+1是整数. 一、全称量词与全称命题

1.全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词. 常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.

2.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，

记作：xM，p(x)（其中M为给定的集合，p(x)是关于x的语句）. 3、全称命题的真假判断

判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；

要判定全称命题“xM，p(x)”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立。

【例1】判断下列全称命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

（2）xR,x211；

2（3）对每一个无理数x，x也是无理数. 4.练习.P23.第1题,判断下列全称命题的真假：

（1）每个指数函数都是单调函数；

（2）任何实数都有算术平方根；

（3）xx/x是无理数，x2是无理数。

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

二、存在量词与特称命题

例.下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？

⑴2x+1=3；

⑵x能被2 和3 整除；

⑶存在一个x0∈R，使2x0+1=3；

⑷至少有一个x0∈Z，x0能被2 和3 整除. 1.存在量词：短语“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“

”表示，读作“存在

”.

例如：

（1）有一个素数不是奇数。

（2）有的平行四边形是菱形。

2.特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M中一个元素x0，有p(x0)成立”，

记作：x0M，p(x0)（其中M为给定的集合，p(x)是关于x的语句）. 例如,命题: 有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数; 有的向量方向不定; 存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; 有一些实数不能取对数.

例2：判断下列特称命题的真假：

（1）有一个实数x0，使x022x030；

（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（3）有些整数只有两个正因数.

3.练习.P23.第1题

例3.判断下列命题是全称命题，还是特称命题？

（1）方程2x=5只有一解；

（2）凡是质数都是奇数；

（3）方程2x2＋1=0有实数根；

（4）没有一个无理数不是实数；

（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；

（6）集合A∩B是集合A的子集；

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例4.用符号“



”与“ ”表示下列含有量词的命题. （1）自然数的平方大于0；

（2）圆x2+y2=r2上任一点到圆心的距离是r；

（3）存在一对整数x,y，使得2x+4y=3；

（4）存在一个无理数，它的立方是有理数.

探究;写出下列命题的否定：

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）xR,x22x10

4.对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题p：x0M，p(x0)，

p的否定p：xM，p(x)；

注意：

(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；

(2)命题的否定与命题的否命题是不同的. （3）常见关键词的否定：

正面词

等于

大于

小于

是

全是

都是

至少一个

否定词

不等于

不大于

不小于

不是

不全是

不都是

至多0个（一个都没有）

至多一个

至少2个

至少n个

至多至多n个

至少n+1个

n-1一个

三．示例

例5. 写出下列全称命题的否定,并判断真假：

(1) p: 所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p: 每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p: 对任意x∈Z, x2的个位数字不等于3.

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例6. 写出下列特称命题的否定,并判断真假：

(1)P:x0R,x02x020

(2) p:有的三角形是等边三角形; (3) p:有一个素数含三个正因数.

四．练习. 写出下列命题的否定：

（1）

若x2>4，则

x>2；

（2）

若m≥0,则

x2+x－m=0有实数根；

（3）

可以被5整除的整数，末位是0；

（4）

被8整除的数能被4整除；

（5）

若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.

2五．小结：

1.全称量词与全称命题及全称命题的真假判断；

2.存在量词与特称命题及特称命题的真假判断；

3.全称命题与特称命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；及符号语言；

特称命题p：x0M，p(x0)，

p的否定p：xM，p(x)；

4.命题的否定与命题的否命题是不同的；

5.常见关键词的否定要准确；

六．课后作业：习题1.4

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