3.1.2 空间向量的数乘运算第二课时教案

第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（二）

教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．

教学过程：

一、复习引入

1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些aa向量叫做共线向量或平行向量．平行于b记作//b．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 理解：⑴上述定理包含两个方面：

aa①性质定理：若∥b（≠0），则有b＝a，其中是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数，使b＝a（a≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）. ⑵对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为

|a|，当>0时与a同向，当<0时与a反向的所有向量. 3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

OPOAta．

其中向量a叫做直线l的方向向量. 推论证明如下：

∵

l//a

，

∴

对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得APta．(*)

又∵

对于空间任意一点O，有APOPOA，



∴

OPOAta

，

OPOAta．

①

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若在l上取ABa，则有OPOAtAB．(**) 又∵

ABOB

O

A∴

OPOAt(OBOA)(1t)OAtO．B②

当t时，OP(OAOB)．③

理解：⑴

表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵

表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶

推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．

空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．

4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形.

（

分析：如何用向量方法来证明？）

O 1212A C D B 5. 出示例2：如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用OA、OB表示OC、OD. 三、巩固练习：

第三课时3.1.2空间向量的数乘运算（三）

教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．

教学重点：点在已知平面内的充要条件．

教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．

教学过程：

一、复习引入

1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．

2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

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二、新课讲授

1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．

2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．

4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？

5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得

p= xa+yb

．

证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．

∵

向量p与向量a、b共面

∴

由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得

p= xa+yb．

充分性：如图，

∵

xa，yb分别与a、b共线，

∴

xa，yb都在a、b确定的平面内．

又∵

xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴

p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．

6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MPxMAyMB，①

或对于空间任意一定点O，有

OPOMxMAy．②M

分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；

⑵由OPOMxMAyMB得：OPOMx(OAOM)y(OBOM)，

∴OP(1xy)OMxOAyOB

③

公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．

7. 例题：课本例1 ，解略．

→ 小结：向量方法证明四点共面

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三、巩固练习

1. 练习：课本

练习3题. 2. 作业：课本

练习2题.

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