2.2.4 平面与平面平行的性质优秀教案设计

平面与平面平行的性质

广西桂平市第三中学

梁宗凯

1．理解直线与平面平行的性质定理和平面与平面平行的性质定理的含义．(重点) 2．会用图形语言、符号语言、文字语言准确地描述直线与平面平行的性质定理和平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作用．(难点、易错点) 3．能运用直线与平面平行的性质定理和平面与平面平行的性质定理，证明一些空间平行关系的简单命题．(重点、难点) 课前预习

定理

表示

线面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条文字叙述

直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

面面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号表示

a∥αa⊂β⇒a∥b α∩β＝b

α∥βα∩γ＝a⇒a∥b

β∩γ＝b图形表示

作用

1.如图，在三棱锥S -ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(

) 线面平行⇒线线平行

面面平行⇒线线平行

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

解析：∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，

又EF∥平面ABC，∴EF∥BC．

答案：B 2．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则下列说法中正确的是(

) ①a∥b；

②a与β内无数条直线平行；

③a与β内的任何一条直线都不垂直；

④a∥β. A．①②

C．②③

答案：B

判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．

1．平行于同一直线的两个平面平行．(

) 2．平行于同一平面的两个平面平行．(

) 3．一个平面与两个平行平面相交，交线平行．(

) 4．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．(

) 答案：1.×

2.√

3.√

4.√

B．②④

D．①③④

课堂探究

线面平行的性质及应用

若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．

思路点拨：a∥b判定定理――→a∥β

线面平行的线面平行的――→a∥l――→a∥b∥l

性质定理公理4解：已知：如图，a∥b，a⊂α，b⊂β，

α∩β＝l.求证：a∥b∥l. 证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，∴a∥β.

又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l.又a∥b，∴a∥b∥l. 方法总结

运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平行平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．

1．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作一平面交平面BDM于GH.

求证：AP∥GH. 证明：如图，连接AC交BD于O，连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点．

又M是PC的中点，∴AP∥OM. 又AP⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，

∴AP∥平面BMD．

∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，

∴根据直线和平面平行的性质定理，得AP∥GH.

面面平行的性质及应用

如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在▱A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

思路点拨：联想面面平行的性质定理→确定交线→证明平行

证明：在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，

∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，

∴A′B′∥平面C′D′DC．

同理可得A′A∥平面C′D′DC．

又A′A∩A′B′＝A′，

∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC．

∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，

平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，

∴AB∥CD．

同理可得AD∥BC．

∴四边形ABCD是平行四边形．

总结：

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

2．如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．

(1)求证：AC∥BD．

(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．

(1)证明：∵PB∩PD＝P，

∴直线PB和PD确定一个平面γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．

又α∥β，∴AC∥BD．

(2)解：由(1)得AC∥BD，

∴PAPC4315＝.∴＝.∴CD＝. ABCD5CD427∴PD＝PC＋CD＝. 4

线面平行和面面平行的综合问题

如图，平面α∥平面β，AB，CD是两异面直线，且A，C∈β，B，D∈α，M，N分别在线段AB，CD上，且AMCN＝. MBND

求证：MN∥α. 思路点拨：利用α∥β可得线面平行→运用面面平行性质构造辅助面→证明MN∥α

证明：如图，过点A作AE∥CD，

AE∩α＝E，连接BE，DE. 在平面ABE内作MP∥BE，

MP交AE于P，

AMAP连接NP，则＝. MBPE∵AMCNAPCN＝，∴＝. MBNDPEND∵平面α∥平面β，平面ACDE∩β＝AC，

平面ACDE∩α＝ED，

∴AC∥ED．∴PN∥ED．

∵PN⊄α，ED⊂α，∴PN∥α. ∵PM∥BE，PM⊄α，BE⊂α，∴PM∥α. 又PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面α. ∵MN⊂平面PMN，∴MN∥α.

总结：

1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

2．要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的联系，相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效方法．

3．如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.求证：

(1)BC∥l；

(2)MN∥平面PAD．

证明：(1)∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，

∴BC∥平面PAD．

又平面PAD∩平面PBC＝l，∴BC∥l.

(2)设Q为DC的中点，连接NQ，MQ，

∵M，N分别为AB，PC的中点，

∴NQ∥PD，MQ∥AD．

可得NQ∥平面PAD，MQ∥平面PAD，

而MQ∩NQ＝Q，

∴平面MNQ∥平面PAD．

又MN⊂平面MNQ，

∴MN∥平面PAD．

1．证明线线平行的方法．

(1)定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．

(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．

(3)线面平行的性质定理：

a∥αa⊂β⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行．

α∩β＝b2．常用的面面平行的几个性质．

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．