阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用第一课时导学案

《圆锥曲线的光学性质及其应用》

(第二课时)教学设计

一.

教学内容解析

本节课内容是人教A版数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》章后的“阅读与思考”材料，重点介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用. 它是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中应用的典型案例.

教学重点：圆锥曲线光学性质的证明、动画验证及应用拓展

教学难点：圆锥曲线光学性质的证明

二.

教学目标解析

(1)

了解圆锥曲线的光学性质，并进行数学证明、动画验证。

(2)

能够通过对一些生活现象的观察思考提出数学问题，再用数学的方法加以论证。

(3)

通过了解圆锥曲线光学性质的广泛应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的应用性，同时尝试用学到的数学知识进行创新设计。

(4)

学会如何搜集、阅读、思考与数学有关的材料。

三.

学情分析

通过圆锥曲线的学习，学生已基本掌握用解析法解决问题；通过物理课的学习，学生了解了光的反射知识。信息时代的学生知识面比较广，能熟练地利用互联网搜索各方面的知识。

上一节课我们交流了圆锥曲线的光学性质及其应用，本节课我们把光学性质予以证明、动画验证，并将应用加以拓展。由于人教A版教材学生不学夹角公式、到角公式，这给光的反射性质的证明带来了一定的困难。为了突破这一难点，前面我们利用导数证明了椭圆、双曲线、抛物线的切线方程，为本节课的证明做了一些准备工作。由于文科学生物理知识薄弱，运算能力较差，性质的证明是本节课的难点。

四.

教学过程设计

（一）

复习回顾

1. 圆锥曲线的光学性质

①椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上；

(见图1.1) ②双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从双曲线的另一个焦点射出的一样；(见图1.2)．

③抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。（如图1.3）

B D A 





F2

O 

F1 

图1.1

图1.2 图1.3 1

2. 圆锥曲线光学性质的应用举例：

①抛物线光学性质的应用

⑴探照灯、汽车远光灯；

⑵太阳灶；

⑶射电望远镜。

②椭圆光学性质的应用

电影放映机的聚光灯

③双曲线光学性质的应用

⑴转角镜、汽车后视镜；

⑵反射式天文望远镜。

（二）解疑答难

师：通过阅读与思考，大家还有哪些疑问？

（教师课前收集整理学生的疑问）

生1：从焦点发出的光线是否一定具有这样的性质？

我有点疑惑。

生2：我想知道这些性质能否证明或怎样验证？

……

【设计意图】使学生学会思考、敢于提问、大胆质疑。

问题解答：

1. 性质的证明

下面我们来证明椭圆的光学性质，双曲线和抛物线光学性质的证明可仿照椭圆完成。

椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。

已知：如图，设椭圆C的方程为

x2y221ab0，

F1、F2分别是其左、右焦点，2abL是过椭圆上一点P(x0，y0)的切线，

L’为垂直于L且过点P的椭圆的法线，交x轴于D，设F2PD求证：α=β

证明：前面我们已经证明了过椭圆

，

F1PD. x0xy0yx2y221. 1(ab0)上一点的切线方程为P(x0,y0)222ababL’是通过点P且与切线L垂直的法线，则L’：1y0x01

xyxy002222baabcD(()2x0,0)a∴法线L’与x轴交于

|F1D|a2cx0c2c22|F1D|2x0c,|F2D|c2x0|FD|acx0

aa∴

∴2又由焦半径公式得：|PF1|aex0,|PF2|aex0

2

∴F1DF2DPF1PF2

∴PD是F1PF2的平分线，即α=β.得证

2. 利用《几何画板》动画验证：动画截图如图

椭

圆

的

光

学

性

质双

曲

线

的

光

学

性

质抛

物

线

的

光

学

性

质HPPPF1F2FF1F2演示性质显示

光线隐藏

轨迹演示性质隐藏

轨迹显示

光线演示性质隐藏

轨迹显示 光线

（三）联想拓展

师：通过阅读与思考，你还联想到了什么？（教师课前收集整理学生交流讨论的资料）

生1：圆锥曲线在光学中可以应用，在其它学科中也可以应用吗？

生2：我想知道圆锥曲线的光学性质能否应用在高科技方面？

……

【设计意图】使学生学会思考、善于联想、大胆猜想。

总结：

1. 医学上的应用：激光消痣与体外碎石技术. 医学上用来对付肾结石，让人的肾结石位于椭圆的一个焦点的位置，在另一个焦点处释放的高能冲击波经椭圆面反射后集中在石头上，将其击碎，实现碎石的效果。

2.声学上的应用

这是一个发生在古希腊的故事：

西西里岛的统治者开凿了一个椭圆形岩洞作为监狱，被关押的犯人不堪忍受折磨

，秘密商讨逃跑的计划，可每次的逃跑计划都会很快被看守知道。犯人们百思不得其解，开始相互猜疑，以为内部出现了内奸。其实他们内部并没有内奸。

犯人们商讨的地方正好位于椭圆的一个焦点上，而看守却位于椭圆的另一个焦点，虽然商讨的声音很小，但经椭圆面墙壁反射后集中到看守所在的位置上，所以看守听得清清楚楚。

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3.高科技方面的应用

GPS系统的构成：空间部分+控制部分+用户部分

控制部分由1个主控站，5个检测站和3个注入站组成。

注入站：将主控站计算的卫星星历及时钟修正参数等注入卫星。

卫星通讯像碗一样的接收或发射天线，也是抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．

（四）课外延伸

师：通过圆锥曲线光学性质的阅读与思考，你还能够联想到圆锥曲线在其他方面的应用吗？

1. 建筑学上的应用：广州塔

2.手工制作：学生手工折叠的椭圆、双曲线、抛物线

学生感受：在阅读与思考过程中要多问为什么；善于将知识进行类比；生活中的好多现象可以用数学知识来解释的；……，数学源于生活，又服务于生活。

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五、课堂小结

（一）知识方面

1.圆锥曲线的光学性质；

2.圆锥曲线的光学性质应用举例；

3.圆锥曲线光学性质的证明和动画验证；

4.圆锥曲线光学性质的拓展延伸。

（二）方法方面：观察法、类比法、探究法

（三）能力方面：学会阅读，学会思考，善于联想，大胆猜想，学以致用。

课外再提升：你能将圆锥曲线的光学性质进行组合，尝试设计出一些作品吗？

【设计意图】课前阅读，课中交流，课后升华。

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