小结优秀教学设计

三棱锥的外接球问题

纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要

求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学

看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.

下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题

看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见.

首先明确定义1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，

则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1

球与正方体

如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1，设正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点，O为球的球心.常见组合方式有三类

一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内切圆，则OJra；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外2接圆，则GOR2a；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACA1C1和其外接23a.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工2R圆，则AO1具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题. 第

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（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系

正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；

数据关系

设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2ra.

（2）正方体的外接球，如图2. 位置关系

正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；

数据关系

设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r3a.

（3）正方体的棱切球，如图3. 位置关系

正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与第

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球心重合；

数据关系

设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r2a.

例 1【2018届福建省三明市A片区高中联盟校高三上学期期末】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

[ ]

A. 4 B. 8 C. 10 D. 12

【答案】D

1.2

球与长方体

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例 2 自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求MA2MB2MC2的值．

【答案】4R. 【解析】以MA,MB,MC为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥MABC补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径． 2MA2MB2MC2=(2R)24R2．

例 3【2018届二轮复习专题】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(

) A. 8π B. 12π

C. 20π D. 24π

【答案】C

2 球与锥体的切接

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1正四面体与球的切接问题

（1）

正四面体的内切球，如图4. 位置关系

正四面体的四个面都与一个球相切，正第

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四面体的中心与球心重合；

数据关系

设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4Rh（可以利用体积桥证明）

6a；3

（2）

正四面体的外接球，如图5. 位置关系

正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；

数据关系

设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R3h（可用正四面体高h减去内切球的半径得到）

6a；

（3）

正四面体的棱切球，如图6. 位置关系

正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系

设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R3h2a,h6a.

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例 4【2018届广西防城港市高三1月模拟】各面均为等边三角形的四面体ABCD的外接球的表面积为3，过棱AB作球的截面，则截面面积的最小值为__________．

【答案】

2【解析】将四面体放回一个正方体中,使正四面体的棱都是正方体的面对角线,那么正四面体和正方体的外接球是同一个球,当AB是截面圆的直径时,截面面积最小. 因外接球的表面积为3,则球的直径为3,则正方体的体对角线为3,棱长为1,面对角2线为2,截面圆面积最小值为22. 点评

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. 2.2其它棱锥与球的切接问题

球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径2R．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.

球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.

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