1.2.3 空间几何体的直观图名师教学视频（文字实录）

1．2.3

空间几何体的直观图

[学习目标]

1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)

2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)

3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换．(易错易混点)

斜二测画法

1．直观图的概念

(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．

(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在________投影下画出的空间图形．

【答案】

平行

2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝________(或________)，它们确定的平面表示________．

(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于________或________．

(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持________，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

【答案】

(1)45°

135°

水平面

(2)x′轴

y′轴的线段

(3)原长度不变

3．立体图形直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度________．其他同平面图形的画法．

【答案】

不变

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同．(

) (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．(

) (3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．(

) (4)斜二测坐标系取的角可能是135°.(

) 【解析】

平行于y轴的直线在直观图中变为原来的一半故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．

【答案】

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

2．如图1-2-20所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是(

)

图1-2-20

【解析】

根据斜二测画法的要求可知，此平面图形可能是C.

【答案】

C

3．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的(

)

2A.4

B．2倍

2C.2

D.2倍

【解析】

底不变，只研究高的情况即可．

【答案】

A

4．如图1-2-21所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的图形的序号是________．

图1-2-21 【解析】

(2)、(3)错在虚线的使用上，(4)是放置在你水平视线的右上角绘制的，故只有(1)对．

【答案】

(1)

预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中

问题1 问题2 问题3 问题4

画平面图形的直观图

图1-2-22

按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．

【自主解答】

画法：

①在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.

②在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

③在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′1轴上取O′E′＝2OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′11＝2GA，H′D′＝2HD.

④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．

画平面图形的直观图的诀窍

(1)在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，且与x′轴平行的线段长度不变，与y′轴平行的线段长度减半．

(2)原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线．画端点时，过端点作与坐标轴平行的线段，再借助所作的平行线段确定端点与直观图中的位置．

(3)原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．

空间几何体的直观图的画法

画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm) 【思路探究】

先画轴，再利用斜二测画法，画出两个底面，连线成图，擦去多余的线．

【自主解答】

画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.

(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.

(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2 cm.

(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．

1．画空间几何体的直观图的四个步骤．

(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．

(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．

(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．

(4)连线成图．

2．利用斜二测法画空间几何体的直观图应遵循的原则．

(1)画空间几何体的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．

(2)画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．

(3)画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．

把本例中的六棱柱改为正六棱台，其它条件不变，画出其直观图．

【解】

画法：(1)画轴．

如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画两底面．由三视图知该几何体是底面为正六边形的六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度．过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.

(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.

由直观图还原平面图形

如图1-2-23是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.将其恢复成原图形并求其面积．

图1-2-23 【思路探究】

先用斜二测画法的逆步骤来作，先确定点，再连线画出原图，求出面积．

【自主解答】

画法：

(1)如图．画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′.

(2)在y轴上取OC＝2O′C′，过C点作CB∥OA且CB＝C′B′.

(3)连线AB，则直角梯形OABC即为四边形O′A′B′C′原来的图形．

(4)设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.

C′B′＝CB，O′A′＝OA.

2过C′作C′D⊥O′A′于D，则C′D＝2h.

1由题意知2C′D(C′B′＋O′A′)＝S，

2即4h(C′B′＋O′A′)＝S.

∴原直角梯形面积为

14SS′＝2·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝22S.

2所以梯形OABC的面积为22S.

1．还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段．平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．

2．求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解．

3．原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S＝22S′.

水平放置的△ABC的直观图如图1-2-24所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，求AB边上的中线的实际长度为多少．

图1-2-24 【解】

由于在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中，∠ACB＝90°，又∵在直观图中，A′C′＝3，B′C′＝2，则在原图形中，AC＝3，BC＝4，∴由勾

5股定理，得AB＝5，则AB边上的中线的长度为2.

1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．

2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：

(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°. (2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．

直观图还原平面图形易发生的错误

已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．

【易错分析】

失分点一：误把△A′B′C′的高作为△ABC的高，而导致计算错误，产生了失分．

失分点二：虽然计算出了△A′B′C′的高，忽略了△ABC的高，作OA＝2O′A′，属于不正确和粗心马虎所致．

【防范措施】

(1)理解平面图形直观图的画法，能正确地进行平面图形与直观图的相互转换，特别是y′轴上或与y′轴平行的线段长度回复到平面图形时才与x轴垂直，但长度需加倍．

2(2)S直观图＝4S平面图形．

【规范解答】

平面直观图及实际图形分别如图①②.

取B′C′所在直线为x′轴，以过B′C′的中点O′且与x′轴正方向成45°角的直线为y′轴．过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′3轴于M′点，连接O′A′，则在Rt△A′O′M′中，因为O′A′＝2a，∠A′M′O′366＝45°，所以M′O′＝O′A′＝2a，故A′M′＝2a.所以O′N′＝2a.在平面直角坐a标系中，在x轴上O点左、右两侧分别取点B、C，使OB＝OC＝2，在x轴上3O点左侧取点M，使OM＝2a，在y轴上O点上方取点N，使ON＝6a，分别过M、N作y轴、x轴的平行线相交于点A，连接AB、AC，则△ABC即为

16原图形．显然S△ABC＝2a·6a＝2a2. ——[类题尝试]————————————————

(2015·临沂高一检测)直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.

图1-2-25 【解析】

由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．

【答案】

矩形

8