习题2.4课时教学实录

高三数学（理）问题学习案

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圆锥曲线中的定值问题

一、学习目标

1.知识与技能：理解并求解有关圆锥曲线的定值问题。

2.过程与方法：掌握如何把圆锥曲线中的几何关系转为为数量关系，并进行等价转换。

3.情感、态度与价值观：在探索过程中充分体验圆锥曲线中动与静的完美结合，感受辩证思想，树立面对困难百折不挠的信心。

二、学习重点和难点

重点是求解有关圆锥曲线的定值问题，难点是如何准确有效地计算。

三、学习过程

(一)考题分析：

圆锥曲线与直线在某种特定的组合状态下，所涉及的几何要素之间存在某种特定的关系，通过相应的代数度量，可以表现为一定的数量关系。对于这种数量关系的研究，通常以某一代数表达式的取值的形式表现出来，它体现了圆锥曲线中动与静的完美结合！

在全国高考中，2015年全国Ⅱ卷第20题第（1）问就是“证明圆锥曲线的斜率之积为定值”问题，2016年全国Ⅰ卷第20题第（1）问是“证明|EA||EB|为定值”，2017年全国Ⅰ卷第20题第（2）问是证明“直线过定点”问题。由此可见，定值问题是高考解析几何试题中的热点问题。

(二)课前小测：

x2y21，1.

已知椭圆方程为左右顶点分别为A,B,P为椭圆上异于A、B的一动点，43证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值.

x2y21上的一点，A坐标为(2,0)，B坐2.

（2016年北京高考题改编）P是椭圆C:4标为(0,1)，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证：|AN||BM|为定值.

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3.已知点M(1,1)在抛物线C:y2x上,动直线l经过点Q(3,1)且与C交于A,B(异于M,且A在B上方）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

(三)例题探究：

例1.（2015年全国卷Ⅱ）已知椭圆C:9x2y2m2(m0)，直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

例2.已知抛物线y4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)

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两点，直线AF和BF分别与抛物线交于点M、N. （1）求y1y2的值；（2）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：

k1为定值. k2x2y21,过点N(1,0)的直线与C交于A,B两点，交y轴于H点，3.已知椭圆C:43设HA1AN,HB2BN,试问12是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

(四)课堂检测：

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3x2y2练习：已知椭圆C:221(ab0)的焦距为2，点(1,)在C上. 2ab（1）求C的方程；

（2）过原点且不与坐标轴重合的直线l与C有两个交点A,B,点A在x轴上的射影为M,线段AM的中点为N,直线BN交C于点P,证明：直线AB的斜率与直线AP的斜率乘积为定值.

(五)课堂小结：

1.这节课我们复习了哪些知识点？ 2.使用了什么数学思想方法？

(六)好题精选：

x2y21的上顶点，1.已知H点是椭圆点B和C是椭圆上的不同于H的两点，且点B和2C关于原点对称,记直线HC，HB的斜率分别为k1，k2.证明：k1k2为定值. x2y22.

已知椭圆221(ab0)和圆O:x2y2b2，过椭圆上的一点P引圆O的两ab条切线，切点分别为A、B,设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N,求证：a2b2为定值. 22|ON||OM|x2y21上的一点，3.

已知Q为双曲线过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2,552求证：QP1QP2为定值. x2y21的左右焦点分别为F1、F2，P是双曲4.

（2010年山东高考题改编）已知椭圆84x2y21上异于其顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、线44D（其中A在线段PF1上，C在线段PF2上）.（1）设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k21；（2）问是否存在常数，使得|AB||CD||AB||CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

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