习题2.1优秀教案案例

圆锥曲线中动点的轨迹问题教学设计

中卫市第一中学 赵华

教学目标：

1.

知识与技能：理解圆锥曲线动点轨迹形成过程，掌握轨迹方程的各种计算方法。

2.

过程与方法：通过几何画板展示，学生体验动点轨迹生成过程，利用圆锥曲线定义学生解决动点的轨迹方程。

3.

情感态度与价值观：提高学生分析问题解决问题的能力，培养学生全面发展的能力。

教学重点：灵活运用题设条件，确定动点所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义确定曲线的类型。 教学难点：理解轨迹的完备性与纯粹性，并能准确地运用。（完备性是指符合条件的点都

要在轨迹上，不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件，没有“假冒”。

教学用具：多媒体课件，几何画板，数码展台。

教学说明：

有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、性质有着密切的关系．在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题策略和具体方法．

在解析几何教学中 ,求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一 ,而椭圆曲线的定义又是研究圆锥曲线各种性质的基本出发点 ,如果在求动点的轨迹方程中充分利用圆锥曲线定义 ,常常会达到言简意明、异曲同工的效果

。下面就其运用作一些举例介绍。

探求曲线轨迹的基本方法：直接法（轨迹法）

、定义法、

相关点法（代入法）、

参数法、代入法、待定系数法、点差法。 教学过程：

例1：一动圆与圆C1:(x+4)2+y2=1外切，同时与圆C2: (x-4)2+y2=81内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线？

解：不妨设动圆圆心为P，半径为R。由题意可知：

丨PC1丨=1+R 丨PC2丨=9-R 两式相加，得到 丨PC1丨+丨PC2丨=10 由上式可知，动点P到两个定点

C1（-4,0）和C2（4,0)的距离之和等于定长，

而且定长大于两定点间的距离。

所以，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是焦点为（-4,0）和（4,0)，

长轴长等于10的椭圆。

2a=10 a=5 2c=8 c=4 得b=3 22xy于是动圆圆心的轨迹方程为

1259

例2：如图，圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

解：如图，连接OA。

由已知，得丨QP丨=丨QA丨

∴丨QO丨+丨QA丨=丨QO丨+丨QP丨= r 又∵点A在圆内，所以丨OA丨＜丨OP丨

根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，

A为焦点，r为长轴长的椭圆

例3：过原点的直线与圆:(x-3)2+y2=4相交于A,B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

解：设圆的圆心为C，则点C的坐标为（3,0）

设动点M的坐标为（x,y）

由题意知：在运动的过程中，CM⊥AB，

（1）若kAB≠0，则有kAB × kCM=-1（ kAB = kOM ）

yy1x坐标化可得x3

化简得：x2

y23x0

(2)若kAB＝0，此时M与C重合，M坐标为（3,0）也符合上式

当直线AB与圆相切时解得切点坐标，若 , （ ，）x

53253253则直线与圆不相交，此时不符合题意

x2综上所述：M的轨迹方程是

教学反思：

5y3x（0x3）31.理解轨迹的完备性与纯粹性，并能准确地运用。（完备性是指符合条件的点都要在轨迹上，不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件，没有“假冒”。

2.教学过程中应注重学生对轨迹形成的理解，学生理解了轨迹如何形成，才能利用相关知识和方法解决轨迹问题。