2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学内容分析

2．1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

2．1.4

平面与平面之间的位置关系

学习目标

1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系；2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系；3.掌握空间中平面与平面的位置关系．

知识点一

直线和平面的位置关系

思考

如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？

答案

三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．

位置关系

公共点

符号表示

图形表示

知识点二

两个平面的位置关系

思考

观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？

答案

两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．

位置关系

两平面平行

图示

表示法

α∥β

公共点个数

0个

直线在平面内

无数个

a⊂α

直线在平面外

直线与平面相交

1个

a∩α＝A 直线与平面平行

0个

a∥α

两平面相交

α∩β＝l 无数个点(共线)

类型一

直线与平面的位置关系

例1

下列五个命题中正确命题的个数是(

) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；

④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；

⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α. A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 解析

如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然不正确，故答案为B. 反思与感悟

空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断，要注意多种可能情形．

跟踪训练1

以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

A 解析

如图所示在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；

A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；

AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；

A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．

类型二

平面与平面之间的位置关系

例2

α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是(

)

A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β

B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

答案

D 解析

A、B都不能保证α、β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α、β一定无公共点．

反思与感悟

判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．

跟踪训练2

两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 解析

①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确.

1．已知直线a在平面α外，则(

) A．a∥α

B．直线a与平面α至少有一个公共点

C．a∩α＝A

D．直线a与平面α至多有一个公共点

答案

D 解析

因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D. 2．下列命题中的真命题是(

) A．若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交

B．若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面

C．若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面α

D．若a∥α，b⊂α，则a∥b

答案

A 解析

若a⊂α，b⊄α，则a与b平行或异面，故B错．对直线AB上两点A，B虽然都不在α内，但直线AB与平面α可能有公共点，故直线AB与平面α也可能相交，故C不正确．

a∥α⇒a∥b或a，b异面，D错．

b⊂α3．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是(

) A．l与β相交

C．l在β内

答案

B 解析

∵α∥β，∴α与β无公共点．

∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β. 4．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(

) A．平行

C．相交

答案

D 解析

两个平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也没有公共点，因此它们不是平行就是异面．

5．下列说法中正确的序号为________．

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若α∥β，a⊂α，则a∥β；

④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

答案

③

解析

①不符合直线与平面平行的定义；

②中直线a与b没有交点，也有可能平行；

③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β；

④中直线a与平面β有可能平行．

1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．

2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们B．异面

D．平行或异面

B．l与β平行

D．无法判定

给它以“百宝箱”之称．

一、选择题

1．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是(

) A．平行

C．异面

答案

D 2．直线l与平面α不平行，则(

) A．l与α相交

C．l与α相交或l⊂α

答案

C 解析

直线与平面的位置关系有：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交，由于直线l与平面α不平行，所以直线l与α相交或l⊂α. 3．已知平面α，直线a，b，则下列说法中正确的个数是(

) ①若a⊄α，则a∥α；

②若a∥b，b⊂α，则a∥α；

③若a∥α，b∥α，则a∥b；

④若a与α内的任何一条直线都不相交，则a∥α. A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 解析

①错误．因为直线a在平面α外，包括两种情况：

a∥α和a与α相交，所以a不一定平行于α. ②错误．因为a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α. ③错误．如图所示，直线a∥α，直线b∥α，但a与b相交．

④正确．若a与α内的任何一条直线都不相交，则a与α无公共点，所以a∥α.综上可知，正确的说法只有1个．

4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是(

) A．平行

C．平行或相交

答案

C B．相交

D．AB⊂α

B．l⊂α

D．以上结论都不对

B．相交

D．以上都有可能

解析

结合图形可知选项C正确．

5．下列命题正确的是(

) A．若直线a在平面α外，则直线a∥α

B．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交

C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β

D．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β

答案

D 解析

直线a在平面α外，则直线a∥α或a与α相交，故A错；直线a与平面α有公共点，则a与α相交或a⊂α，故B错；C中α与β可能平行，可能相交．

6．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线(

) A．异面

C．平行

答案

D 解析

若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确．所以选D. 7．下列说法中正确的个数是(

) (1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线．

(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面．

(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．

(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β. A．0

B．1

C．2

D．3 答案

A 解析

(1)错误．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线．

(2)错误．如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内．

(3)错误．直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行．

(4)错误．如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β. 二、填空题

B．相交

D．垂直

8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．

答案

(1)平行

(2)相交

解析

(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．

9．已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

其中正确的序号是____________(将你认为正确的序号都填上)．

答案

③④

解析

①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点；④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错，a与β也可能平行．

10．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．

答案

b⊂α，b∥α或b与α相交

解析

正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A为a，BC为b，若平面BCC1B1为α，则b⊂α；若平面CDD1C1为α，则b与α相交；若过AB、CD、C1D1、A1B1中点的截面为α，则b∥α. 11．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形．其中正确的结论是________(把你认为正确的序号都填上)．

答案

(2)(3)(4) 解析

因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．

于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，如图①；

过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图②；

正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图③. 1若出现三角形，水的体积不可能为正方体的. 2

12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

答案

4 解析

EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有4个．

三、解答题

13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.

解

如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.

∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中

，

A1D1∥BC，A1D1＝BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形．

∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E，F，C，D1四点共面．

∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF，

∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF. 14．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图①中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．

解

如图①所示，过点E作EN平行于BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则直线AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．

如图②所示，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则直线BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．

证明：在图①中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与NB相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面ABCD与平面AEF的公共点，故直线AM为两平面的交线．

在图②中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B也是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．