习题3.2优秀说课稿

空间直角坐标向量的应用—求夹角

杨忠元

2019.05 教学目标

1、利用空间向量数量积求解空间异面直线的夹角；

2、利用空间向量数量积求解直线与平面的夹角；

3、利用空间向量数量积求解两个平面的夹角。

教学重点

1、利用空间向量数量积求解直线与平面的夹角；

2、利用空间向量数量积求解两个平面的夹角。

教学难点

1、利用空间向量数量积求解直线与平面的夹角；

2、利用空间向量数量积求解两个平面的夹角。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学过程

（一）知识点梳理

１、线线角

异面直线所成角的范围：(0,]

2

思考： CD,AB与的关系？和DC,AB与的关系？

结论： coscosCD,AB２、线面角

直线与平面所成角的范围：[0,]

2

思考：

n,BA与的关系？

结论：

sincosn,AB３、二面角

二面角的范围：[0,]

①

、当[0,2]时

结论：

coscosn1,n2

②

、当(2,]时

结论：

coscosn1,n2

关键：观察二面角的范围

（二）例题讲解

例题、矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面互相垂直，ABE60，点G在线段BE上且EGEB，AB3BC。（1）、若12，求直线CG与直线AE所成角的余弦值。

变式：若直线CG与直线AE所成角的余弦值为(2)、若21，求的值。

141，求直线CG与平面ACE所成角的正弦值。

2变式：若直线CG与平面ACE所成角的正弦值为（3）、若391，求的值。

911，求二面角D—ＣＡ—Ｇ的余弦值。

2变式：若二面角D—ＣＡ—Ｇ的余弦值为-解析：

21，求的值。

7四边形ABCD是矩形ADAB平面ABCD平面ABEFAD平面ABEF

平面ABCD平面ABEFABAD平面ABCD四边形ABEF为菱形，且ABE60则以A点为坐标原点过ＢＥ的中点所在的直线为x轴，ＡＦ所在的直线为y轴，ＡＤ所在的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz

设BC2，由AB3BC23

则A(0,0,0),B(3,3,0),C(3,3,2),D(0,0,2)E(3,3,0），F(0,23,0)1时，G（3,0,0)

2

（１）、当此时GC(0,3,2),AE(3,3,0)

设直线CG与直线AE所成角为

CGAECGAE372321

14则cos变式1、由EGEB得G（3，（312),0)

则GC（0,2（3-1），2），AE(3,3,0)

CGAE则CGAE6-122312（-1）4212228（-1）12（-1）414

2（-1）11(0)42（2）、当1时，G（3,0,0)，设平面ACE的法向量为n(x,y,z)

2因为AC(3,3,2),AE(3,3,0)，

GC（0.-3,2）ACn03x3y2z0AEn03x3y0n(1,3,3)

取y3设直线直线CG与平面ACE所成的角为

则sinnGCnGC3137391

91变式2、由EGEB得G（3，（312),0)

则GC

（0,2（3-1），2）设平面ACE的法向量为n(x,y,z)

因为AC(3,3,2),AE(3,3,0)

ACn03x3y2z0AEn03x3y0n(1,3,3)

取y3则由题意可得

nGCnGC621312（-1）4391223-2091

1（0)2（3）、当1时，G（3,0,0)，设平面ACD的法向量为n1(x1,y1,z1)，

2平面ACG的法向量为n2(x2,y2,z2)

则AC(3,3,2),AD(0,0,2),AG(3,0,0)

ACn103x13y12z10ADn102z10n1(1,3,0)

取y13ACn203x23y22z20n2(0,2,3)

取z23AGn203x20设二面角DCAG的平面角为

n1n2n1n2232721

7则cos变式3、由EGEB得G（3，（312),0)

设平面ACD的法向量为n1(x1,y1,z1)，平面ACG的法向量为n2(x2,y2,z2)

则AC(3,3,2),AD(0,0,2),AG（3，（312),0)

ACn103x13y12z10ADn102z10n1(1,3,0)

取y13AGn203x2（31-2）y20ACn203x23y22z20n2(21,3,33)

取y23n1n2n1n22-13222（2-1）3（3-3）2122-5-207

1（（舍去））22练习、如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，BAD120，PA3，ACB90，M是线段PD上的一点不包括端点．

Ⅰ求证：BC平面PAC

Ⅱ求二面角DPCA的正切值(2)；

Ⅲ试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角的正弦值为15．

5小结：

1、异面直线所成的角：

coscosCD,AB

2、直线与平面所成的角：

sincosn,AB

3、二面角：

coscosn1,n2coscosn1,n2

关键：观察二面角的范围